by

Математический анализ

Числовые
функции

Понятие функции
является одним
из основных
в математике.
С его помощью
выражают зависимости
между различными
переменными
величинами.
Изучение свойств
функций, основанное
на методе пределов,
составляет
содержание
математического
анализа
.

  1. Определение

Пусть
Математический анализ-
некоторое
числовое множество,
и пусть каждому
элементу
Математический анализ
поставлено
в соответствие
число
Математический анализ.
Тогда говорят,
что на множестве
Математический анализ
определена
числовая функция.
Функцию обозначают
некоторым
символом, например
Математический анализ,
и пишут

Математический анализ.
(1)

Множество
Математический анализ
называется
областью
определения
функции
Математический анализ,
Математический анализ
- ее аргументом,
а
Математический анализ
- значением
функции в точке
Математический анализ.
Используются
также обозначения:
Математический анализ
для области
определения
и
Математический анализ
для множества
значений функции.

Графиком
функции
Математический анализ
называется
множество всех
точек координатной
плоскости вида
Математический анализ,
где
Математический анализ.
График дает
наглядное
представление
о поведении
функции, однако
более удобным
в теоретических
исследованиях
является
аналитический
способ задания
функций с помощью
формул. На практике
используют
также табличный
способ, когда
значения функции
указываются
для отдельных
значений аргумента.

В качестве
области определения
функции могут
выступать
различные
числовые множества,
например:

а) отрезок
Математический анализ;

б) интервал
Математический анализ;

в) полуинтервалы
Математический анализ
или
Математический анализ;

г) бесконечные
полуинтервалы
Математический анализ
или
Математический анализ;

д) множество
всех действительных
чисел
R =Математический анализ.

Под областью
определения
функции, заданной
формулой, понимают
обычно множество
всех значений
аргумента, для
которых эта
формула имеет
смысл.

Примеры.
1) Для функции
Математический анализ
область определения
и множество
значений

имеют
вид:
Математический анализ,
Математический анализ;
график функции
представлен
на рис. 1.

Математический анализ

Рис.
1.

2)
Для функции
Математический анализимеем
Математический анализ,
Математический анализ;
график функции
изображен на
рис. 2.

Математический анализ

Рис.
2.

3) Для функции
Математический анализ
имеем:
Математический анализ,

Математический анализ;
ее график приведен
на рис. 3.

Математический анализ

Рис. 3.

  1. Основные
    элементарные
    функций

Напомним определения
и свойства
некоторых
элементарных
функций, известные
из школьного
курса математики.
В каждом случае
укажем аналитическое
выражение и
область определения
функции, приведем
ее график.

а) Линейная
функция
:

Математический анализR,

где
Математический анализ
и
Математический анализ
– некоторые
постоянные
(числа); график
– прямая с угловым
коэффициен-

том
Математический анализ
(Математический анализ,
где
Математический анализ
– угол наклона
прямой к оси
Математический анализ):

Математический анализ

Рис.4.

бМатематический анализ
)
Квадратичная
функция
:

Математический анализR,

Рис.
5.

где
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ
- постоянные
коэффициенты;
график – парабола,
ее расположение
существенно
зависит от
величины

Математический анализ,

называемой
дискриминантом
функции, и от
знака первого
коэффициента
Математический анализ:

в)
Обратно пропорциональная
зависимость
:

Математический анализ,

где
Математический анализ
- постоянная.
График – гипербола:

Математический анализ

Рис.
6.

г)
Степенная
функция
:

Математический анализ,

где
Математический анализ
и
Математический анализ
- постоянные;
область определения
существенно
зависит от
Математический анализ.
В п. в) рассмотрен
случай
Математический анализ,
а в примере 1 -
случай
Математический анализ.
Приведем еще
графики функций
для
Математический анализ
и
Математический анализ:

Математический анализ

Рис.
7.

е)
Показательная
функция
:

Математический анализR,

где
Математический анализ
- постоянная;
график в зависимости
от значения
Математический анализ
имеет вид:

Математический анализ

Рис. 8.

Все
перечисленные
здесь функции,
а также логарифмическая,
тригонометрические
и обратные
тригонометрические
функции основными
элементарными
функциями
.

  1. Сложная
    функция

Пусть заданы
функции
Математический анализ
и
Математический анализ,
причем множество
значений функции
Математический анализ
принадлежит
области определения
функции
Математический анализ:
Математический анализ.
Тогда можно
определить
сложную функцию

Математический анализ,

называемую
также композицией
функций

Математический анализ
и
Математический анализ.

Пример.
Из функций
Математический анализ
и
Математический анализ
с помощью указанной
операции можно
составить две
сложные функции:
Математический анализи
Математический анализ.

Используя
операцию композиции,
можно из основных
элементарных
функций, получать
новые функции,
также называемые
элементарными.
Вообще, элементарной
функцией
называют
функцию, которую
можно получить
из основных
элементарных
функций с помощью
конечного числа
арифметических
операций и
композиций.

ПМатематический анализ
ример
.
Функция
Математический анализ
(читается: "модуль

Математический анализ")
является
элементарной,
так как для
всех
Математический анализR
справедливо
представление
Математический анализ.
График этой
функции приведен
на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная
функция

Рассмотрим
функцию
Математический анализ
с областью
определения
Математический анализ
и множеством
значений
Математический анализ.
Предположим,
что для любого
Математический анализ
уравнение
Математический анализ
имеет единственное
решениеМатематический анализ.
Тогда на множестве
Математический анализ
можно определить
функцию, сопоставляющую
каждому
Математический анализ
такое значение
Математический анализ,
что
Математический анализ.
Эту функцию
называют обратной
для функции
Математический анализ
и обозначают
Математический анализ:

Математический анализ.

Функцию,
у которой существует
обратная функция,
назовем обратимой.

Обозначая, как
обычно, аргумент
функции через
Математический анализ,
а значение
функции через
Математический анализ,
можно записать

Математический анализ.

Поскольку
взаимная перестановка
переменных
Математический анализ
и
Математический анализ
равносильна
переобозначению
координатных
осей, можно
показать, что
график функции
Математический анализ
симметричен
графику функции
Математический анализ
относительно
биссектрисы
первого и третьего
координатных
углов (то есть
относительно
прямой
Математический анализ).

Математический анализ
Примеры.
1) Для линейной
функции
Математический анализ
обратная функция
также линейна
и имеет вид
Математический анализ.
Меняя местами
Математический анализ
и
Математический анализ,
получаем
Математический анализ.
Графики исходной
и обратной
функций приведены
на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции
Математический анализ,
Математический анализ,
множество
значений имеет
вид
Математический анализ.
Для каждого
Математический анализ
уравнение
Математический анализ
имеет единственное
решение
Математический анализ.
Поменяв местами
Математический анализ
и
Математический анализ,
получим
Математический анализ,
Математический анализ.
Графики функций
приведены на
рис. 11 .

Рис. 11.

Математический анализ

Рис. 11.

3) Обратной к
показательной
функции
Математический анализ
является
логарифмическая
функция
Математический анализ.
На рис. 12 представлены
графики функций
Математический анализ
и
Математический анализ
.

Математический анализ

Рис. 12.

Упражнения

1.
Найти области
определения
следующих
функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ.

2. Построить
графики функций:

1)
Математический анализ,

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ,

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ.

3.
Найти функции
обратные к
функции
Математический анализ,
указать их
области определения
и построить
графики:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ,
Математический анализ;

4)
Математический анализ,
Математический анализ;

5)
Математический анализ,
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

Ответы

1.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ
R;

6)
Математический анализ
R;

7)
Математический анализ;

8);
Математический анализ

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ
R
;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)Математический анализ.

.

3.

1)
Математический анализ,
Математический анализR;

2)
Математический анализ,
Математический анализ
R;

3)Математический анализ,
Математический анализ;

4)
Математический анализ,
Математический анализ;

5)
Математический анализ,
Математический анализ;

6)
Математический анализ,
Математический анализ;

7)
Математический анализ,
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ,
Математический анализ;

10)
Математический анализ,
Математический анализ
R.

§
2. Предел и непрерывность
функции

Пределом
функции в точке
называется
число, к которому
приближаются
значения функции
при приближении
аргумента к
этой точке.
Строгое определение
предела дается
сначала для
функций частного
вида – последовательностей,
а затем переносится
на функции
общего вида.
На основе понятия
предела определяются
важнейшие
понятия математического
анализа – производная
и интеграл.

  1. Предел
    последовательности

Последовательностью
называется
функция, определенная
на множестве
натуральных
чисел N =
Математический анализ
.
Значения этой
функции
Математический анализ,
Математический анализN,
называются
элементами
или членами
последовательности,
число
Математический анализ
называется
номером элемента
Математический анализ.
Для последовательностей
используется
обозначение
Математический анализ
или более наглядная
запись
Математический анализ.
Задать последовательность
можно с помощью
формулы, связывающей
Математический анализ
и
Математический анализ.

Приведем примеры
последовательностей,
указав их различные
представления:

а)
Математический анализ,
или
Математический анализ,
или
Математический анализ;

б)
Математический анализ,
или
Математический анализ,
или
Математический анализ;

в)
Математический анализ,
или
Математический анализ,
или
Математический анализ.

Заметим,
что элементы
этих последовательностей
ведут себя
по-разному с
увеличением
номера
Математический анализ:
в первом случае
убывают, приближаясь
к нулю; во втором
случае неограниченно
возрастают;
в третьем случае
не приближаются
ни к какому
определенному
числу, принимая
поочередно
значения
Математический анализ
и
Математический анализ.
Для описания
поведения
элементов
последовательности
при неограниченном
увеличении
n вводится
понятие предела.

Число а называется
пределом
последовательности

Математический анализ,
если для любого
положительного
числа
Математический анализ
существует
такой номер
Математический анализ,
что для всех
Математический анализ
выполняется
неравенство
Математический анализ
(то есть
Математический анализ
отличается
от
Математический анализ
менее, чем на
Математический анализ).

Если предел
существует,
то говорят, что
последовательность
сходится, и
пишут
Математический анализ
(читается: "предел
Математический анализ
равен
Математический анализ")
или
Математический анализ
при
Математический анализ
("Математический анализ
стремится к
Математический анализ
при
Математический анализ,
стремящемся
к бесконечности").
В противном
случае говорят,
что последовательность
расходится.

Примеры. а)
Последовательность
Математический анализ
сходится,
ее предел равен
нулю:
Математический анализ.
Это непосредственно
следует из
определения
предела, поскольку
при любом
Математический анализ
неравенство
Математический анализ
выполняется
для всех
Математический анализ,
и в качестве
Математический анализ
можно взять
любое натуральное
число, большее
Математический анализ.

б) Аналогично
доказывается
более общее
утверждение:

Математический анализ
при любом
Математический анализ.

Например,
Математический анализ,
Математический анализ
и т. д.

  1. Правила
    вычисления
    пределов
    последовательностей

При вычислении
пределов
последовательностей
используются
следующие
правила:

I. Если
последовательности
Математический анализ
и
Математический анализ
сходятся, то
сходятся их
сумма, разность
и произведение,
причем:

1)
Математический анализ,

2)
Математический анализ,

  1. 3)
    Математический анализ;

если
Математический анализ
и
Математический анализ,
то сходится
также и частное:

4)
Математический анализ.

II. Предел
последовательности
Математический анализ,
где
Математический анализ
- постоянная,
равен этой
постоянной:

Математический анализ.

III.
Постоянный
множитель можно
выносить за
знак предела:

Математический анализ

(следствие
правил I.3 и
II).

Применению
указанных
правил часто
предшествуют
некоторые
предварительные
преобразования
выражения,
стоящего под
знаком предела.

Примеры. а)
Математический анализ;

б)
Математический анализ.

  1. Бесконечно
    малые и бесконечно
    большие последовательности

Последовательность
Математический анализ
называется
бесконечно
малой
, если
Математический анализ.
Это означает,
что для любого
Математический анализ
найдется номер
Математический анализ
такой, что для
всех
Математический анализ
выполняется
неравенство
Математический анализ.

Последовательность
Математический анализ
называется
бесконечно
большой
, если
для любого
числа
Математический анализ
найдется такой
номер
Математический анализ,
что для всех
Математический анализ
справедливо
неравенство
Математический анализ.
В этом случае
пишут
Математический анализ
(читается: "предел
Математический анализ
равен бесконечности")
или
Математический анализ
при
Математический анализ
("Математический анализ
стремится к
бесконечности
при
Математический анализ,
стремящемся
к бесконечности").
Если при этом
все элементы
Математический анализ
положительны,
начиная с некоторого
номера, то пишут
Математический анализ
("предел
Математический анализ
равен плюс
бесконечности"),
а если отрицательны
- используют
запись
Математический анализ
("предел
Математический анализ
равен минус
бесконечности").

Заметим, что
если
Математический анализ,
то
Математический анализ
(при
Математический анализ),
то есть последовательность,
обратная к
бесконечно
большой, является
бесконечно
малой. Аналогично,
если
Математический анализ,
то
Математический анализ
(при
Математический анализ),
– последовательность,
обратная к
бесконечно
малой, является
бесконечно
большой.

Справедливы
также следующие
утверждения:

сумма и произведение
двух бесконечно
малых последовательностей
являются бесконечно
малыми последовательностями;

произведение
двух бесконечно
больших последовательностей
является бесконечно
большой
последовательностью;

если
оба предела
Математический анализ
и
Математический анализ
равны
Математический анализ
(или
Математический анализ),
то
Математический анализ
(соответственно
Математический анализ).

Примеры. а)
Последовательности

Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ
при
Математический анализ,
Математический анализ

являются
бесконечно
малыми, а обратные
к ним последовательности

{Математический анализ},
{Математический анализ},
{Математический анализ},
{Математический анализ}
при
Математический анализ,
{Математический анализ}

– бесконечно
большими.

б) Последовательности
Математический анализ
и
Математический анализ
бесконечно
большие, поэтому
их сумма
Математический анализ
– также бесконечно
большая. Отсюда
следует, что
Математический анализ
– бесконечно
малая последовательность,
поскольку

Математический анализ.

  1. Число
    e

Рассмотрим
последовательность
Математический анализ.
Можно показать,
что эта последовательность
сходится; ее
предел обозначается
буквой
Математический анализ:

Математический анализ.

Число
Математический анализ
играет важную
роль в математике
(служит основанием
натуральных
логарифмов);
оно не является
рациональным
и приближенно
равно

Математический анализ.

Исходя
из определения
числа
Математический анализ,
можно получить
более общую
формулу:

Математический анализ,

справедливую
для любой постоянной
Математический анализ.

Приведем пример
экономической
задачи, в которой
возникает число
Математический анализ.
Предположим,
что в банк помещена
сумма
Математический анализ
под
Математический анализ
годовых. Тогда
через год сумма
вклада составит

Математический анализМатематический анализ,

где
введено обозначение
Математический анализ.

Предположим,
что вклад можно
снять по истечении
любого срока
в течение года,
и начисление
на вклад пропорционально
этому сроку,
т.е. за полгода
будет начислено
Математический анализ,
за месяц -
Математический анализ,
за один день
-
Математический анализ.
Тогда к концу
года можно
получить доход
больший, чем
Математический анализ,
действуя следующим
образом. Если,
например, в
середине года
закрыть счет
и полученную
сумму
Математический анализ
снова положить
в банк на оставшиеся
полгода, то в
конце года
сумма вклада
составит

Математический анализ.

Если
повторять
операцию
закрытия-открытия
счета чаще,
например, каждый
месяц, то к концу
года будем
иметь
Математический анализ,
а если каждый
день, то
Математический анализ.
Если предположить,
что операция
закрытия-открытия
счета производится
Математический анализ
раз в году через
равные промежутки
времени, то в
конце года
сумма вклада
составит
Математический анализ,
а если представить,
что проценты
начисляются
непрерывно
(число операций
закрытия-открытия
счета неограниченно
растет), то

Математический анализ.

Таким образом,
максимальное
число процентов,
на которое
гипотетически
может увеличиться
вклад при данной
схеме начисления,
составляет
Математический анализ.
Например, при
номинальной
ставке 100 % (Математический анализ
максимальная
эффективная
ставка составит
Математический анализ.

  1. Предел
    функции

Пусть функция

Математический анализ
определена
на некотором
интервале
Математический анализ,
содержащем
точку
Математический анализ,
за исключением
быть может
самой этой
точки. В дальнейшем
любой интервал,
содержащий
некоторую точку
Математический анализ,
будем называть
окрестностью
данной точки.

Число
Математический анализ
называется
пределом функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ,
если для любой
последовательности
Математический анализ,
Математический анализ,
сходящейся
к
Математический анализ,
последовательность
значений функции
Математический анализ
сходится к
Математический анализ.
Обозначения:

Математический анализ
или
Математический анализ
при
Математический анализ.

При вычислении
пределов функций
используются
те же правила,
что и при вычислении
пределов
последовательностей.
В частности,
если существуют
пределы
Математический анализ
и
Математический анализ,
то

Математический анализ;

Математический анализ;

Математический анализ;

если, кроме
того,
Математический анализ
(тогда
Математический анализ
для всех
Математический анализ,
достаточно
близких к
Математический анализ),
то

Математический анализ.

Примеры.
а) Найдем предел
функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ.
Для произвольной
последовательности
Математический анализ
такой, что
Математический анализ,
Математический анализ,
на основании
свойств пределов
последовательностей
имеем

Математический анализ.

Отсюда
по определению
предела функции
получаем

Математический анализ.

б) Найдем предел
функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ,
в которой функция
не определена.
Для произвольной
последовательности
Математический анализ
такой, что
Математический анализ,
Математический анализ,
имеем

Математический анализ.

Отсюда
получаем

Математический анализ.

  1. Пределы
    в бесконечности.
    Бесконечные
    пределы

Данное
выше определение
предела функции
можно распространить
на случаи, когда
Математический анализ
или
Математический анализ
(по отдельности
или вместе)
являются не
числами, а символами
Математический анализ,
Математический анализ
или
Математический анализ.
Так, например,
запись

Математический анализ,

где
Математический анализ
- число, означает,
что для любой
бесконечно
большой последовательности
Математический анализ,
стремящейся
к
Математический анализ,
последовательность
Математический анализ
сходится к
Математический анализ.
Аналогично,
запись

Математический анализ,

означает,
что для любой
последовательности
Математический анализ,
стремящейся
к
Математический анализ,
последовательность
Математический анализ
стремится к
Математический анализ.

Примеры.
а)
Математический анализ;
б)
Математический анализ;
в)
Математический анализ;

г)
Математический анализ.

В качестве
более сложного
примера приведем
равенство

Математический анализ,

которое
можно доказать,
исходя из определения
числа
Математический анализ.
Заметим, что
этому равенству
можно придать
вид

Математический анализ.

  1. Непрерывность
    функции

Функция

Математический анализ
,
определенная
в некоторой
окрестности
точки
Математический анализ,
называется
непрерывной
в точке

Математический анализ,
если

Математический анализ.

Если
ввести обозначения
Математический анализ
и
Математический анализ
(Математический анализ
называется
приращением
аргумента
,
а
Математический анализ
- соответствующим
приращением
функции
), то
определению
непрерывности
можно придать
вид

Математический анализ.

Таким
образом, непрерывность
означает, что
малым приращениям
аргумента
соответствуют
малые приращения
функции.

Функция называется
непрерывной
на множестве

Математический анализ,
если она непрерывна
в каждой точке
этого множества.
Справедливо
следующее
утверждение:
все основные
элементарные
функции непрерывны
на своих областях
определения
.

Примеры.
Следующие
функции непрерывны
на указанных
множествах:

а) функция
Математический анализ
непрерывна
на R;

б) функция
Математический анализ
непрерывна
на
Математический анализ
;

в) функция
Математический анализ
непрерывна
для всех
Математический анализ;

г) функция
Математический анализ
непрерывна
на
Математический анализ.

Упражнения

1.
Найти пределы
последовательностей:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ;

23)
Математический анализ;

24)
Математический анализ.

2. Найти
пределы функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ
;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ

Ответы
и указания к
решению

1.

1) 0;

2) 0;

3) 1;

4)
Математический анализ;

5) 0;

6) 0;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13) 0;

14)
Математический анализ;

15) 0;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;
представить
Математический анализ
в виде произведения
Математический анализ
;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
0; преобразовать
Математический анализ
к виду
Математический анализ;

22) 0;

23)
Математический анализ;

24)
Математический анализ.

2.

1) 2;

2) 1;

3) 2;

4) 2;

5) 3;

6) 4;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9) 2;

10) 0;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15) 0;

16) 2;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ.

§
3.
Производная
и ее применение

Производная
характеризует
скорость изменения
функции при
изменении ее
аргумента. Она
является основным
инструментом
исследования
функций в
математическом
анализе,
в частности,
используется
для отыскания
точек экстремума:
в этих точках
производная
либо равна
нулю, либо не
существует.
Через производную
определяется
понятие эластичности
функции, применяемое
в экономических
приложениях.

1. Определение
производной
и правила
дифференцирования

Пусть функция
Математический анализ
определена
в некоторой
окрестности
точки
Математический анализ.
Пусть
Математический анализ
– приращение
аргумента
в точке
Математический анализ,
а
Математический анализ
– соответствующее
приращение
функции. Составим
отношение
Математический анализ
этих приращений
и рассмотрим
его предел при
Математический анализ.
Если указанный
предел существует,
то он называется
производной
функции

Математический анализ
в точке
Математический анализ
и обозначается
Математический анализ,
Математический анализ
или
Математический анализ,
то есть

Математический анализ.

Операция вычисления
производной
называется
дифференцированием,
а функция, имеющая
производную
в точке, – дифференцируемой
в этой точке
.
Если функция
имеет производную
в каждой точке
интервала
Математический анализ,
то она называется
дифференцируемой
на этом интервале
.

Примеры.
Найдем производные
функций в
произвольной
точке
Математический анализ:

а)
Математический анализ,

Математический анализ;

б)
Математический анализ,

Математический анализ

Заметим, что
на практике
при вычислении
производных
редко прибегают
к определению.
Вместо этого
используют
таблицу, содержащую
выражения для
производных
всех основных
элементарных
функций, а также
правила дифференцирования,
позволяющие
находить производную
суммы, разности,
произведения,
частного и
композиции
функций.

Приведем таблицу
производных
некоторых
основных элементарных
функций и правила
дифференцирования.

Таблица
производных

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ,

где
Математический анализ,
Математический анализ
и
Математический анализ
- произвольные
постоянные,
Математический анализ,
Математический анализ.

Примеры.
Получим некоторые
следствия
формулы 2:

а)
Математический анализ,

б)
Математический анализ
;

в)
Математический анализ.

Правила
дифференцирования

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ,
    где
    Математический анализ
    - постоянная;

  3. Математический анализ;

  4. Математический анализ;

  1. если
    Математический анализ,
    а
    Математический анализ,
    то производная
    сложной функции
    Математический анализ
    находится по
    формуле

Математический анализ,

где
индексы указывают,
по какому аргументу
производится
дифференцирование.

Примеры.
Найдем производные
функций, используя
правила 1-4:

а)
Математический анализ;

б)
Математический анализ;

в)
Математический анализ;

Примеры.
Найдем производные
сложных функций
по правилу 5:

а)
Математический анализ;
положим
Математический анализ,
тогда
Математический анализ,
и, следовательно,

Математический анализ;

б)
Математический анализ;
положим
Математический анализ,
тогда
Математический анализ,
и

Математический анализ.

Заметим, что
производная
Математический анализ,
называемая
также первой
производной

функции
Математический анализ,
сама является
функцией аргумента
Математический анализ.
Производная
этой функции
называется
второй производной
функции
Математический анализ
и обозначается
Математический анализ,
то есть
Математический анализ.
Аналогично
можно ввести
третью и более
высокие производные.

Примеры.
Найдем вторые
производные:

а)
Математический анализ;

б)
Математический анализ.

2. Геометрический
и физический
смысл производной

а) Геометрический
смысл производной
.
Рассмотрим
график функции
Математический анализ,
дифференцируемой
в точке
Математический анализ
(рис. 13). Проведем
через точки
Математический анализ
и
Математический анализ
графика прямую
Математический анализ,
и пусть
Математический анализ
- угол ее наклона
к оси
Математический анализ.
Тогда

Математический анализ.
(1)

Математический анализ

Рис.
13.

Если
Математический анализ
стремится к
нулю, то
Математический анализ
также стремится
к нулю, и точка
Математический анализ
приближается
к точке
Математический анализ,
а прямая
Математический анализ
- к касательной
Математический анализ,
образующей
с осью
Математический анализ
угол
Математический анализ.
При этом равенство
(1) принимает
вид:

Математический анализ,
(2)

откуда
следует, что
производная
функции в точке
равна тангенсу
угла наклона
касательной
к графику функции
в этой точке
.

Пример.
Найдем угол
Математический анализ
наклона касательной
к графику функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ.
Поскольку
Математический анализ,
то в силу формулы
(2) получаем
Математический анализ.
Следовательно
угол
Математический анализ,
то есть касательная
параллельна
оси
Математический анализ.

б) Физический
смысл производной
.
Если
Математический анализ
- время движения,
а
Математический анализ
- путь, пройденный
за это время,
то отношение
Математический анализ
есть средняя
скорость движения
на отрезке
Математический анализ,
а
Математический анализ
- мгновенная
скорость в
момент времени
Математический анализ.

3. Исследование
функций с помощью
производной

Функция
Математический анализ
называется
возрастающей
(убывающей)
на интервале
Математический анализ,
если для любых
Математический анализ
из
Математический анализ
следует
Математический анализ
(Математический анализ).

Интервалы
возрастания
или убывания
могут быть
найдены на
основании
следующего
утверждения.

Математический анализ

Теорема 1. Если
Математический анализ
для всех
Математический анализ,
то функция
Математический анализ
возрастает
на интервале
Математический анализ;
если
Математический анализ
для всех
Математический анализ,
то функция
Математический анализ
убывает на
интервале
Математический анализ.

Математический анализ

Точка
Математический анализ
называется
точкой локального
максимума

(минимума)
функции
Математический анализ,
если для всех
Математический анализ
из некоторой
окрестности
точки
Математический анализ,
Математический анализ,
выполнено
неравенство
Математический анализ
(Математический анализ).
Точки максимума
и минимума
называются
точками экстремума
функции.

Для отыскания
точек экстремума
используются
следующие
теоремы.

Математический анализ
Математический анализ

Теорема 2 (необходимое
условие экстремума
).
Если функция
Математический анализ
имеет экстремум
в точке
Математический анализ
и дифференцируема
в этой точке,
то
Математический анализ.

Из этой теоремы
вытекает, что
в точках экстремума
функции производная
либо равна
нулю, либо не
существует.
Такие точки
называются
критическими.
Экстремумы
функции следует
искать среди
ее критических
точек.

Математический анализ
Математический анализ

Теорема 3
(достаточное
условие экстремума
).
Пусть
Математический анализ
- критическая
точка функции
Математический анализ.
Если при переходе
через точку
Математический анализ
производная
Математический анализ
меняет знак
с "+" на "–",
то в точке
Математический анализ
функция
Математический анализ
имеет максимум,
а если с "–"
на "+", то –
минимум. Если
производная
не меняет знак
при переходе
через точку
Математический анализ,
то в этой точке
экстремума
нет.

Проводимый
на основе
сформулированных
теорем анализ
поведения
функций используют
при построении
их графиков.

Примеры.
а) Найдем интервалы
возрастания
и убывания
функции

Математический анализ,

и ее
экстремумы.

Производная
рассматриваемой
функции существует
при любом
Математический анализ
и равна
Математический анализ.
Приравняв
производную
нулю и решив
полученное
квадратное
уравнение,
найдем две
критические
точки:
Математический анализ
и
Математический анализ.
Ось
Математический анализ
разбивается
этими точками
на три интервала:
Математический анализ,
Математический анализ
и
Математический анализ,
причем на каждом
из них
Математический анализ
сохраняет
знак. Определим
эти знаки, например,
вычислив
Математический анализ
в произвольных
точках указанных
интервалов,
получим:

Математический анализ
на
Математический анализ
и
Математический анализ,
и
Математический анализ
на
Математический анализ.

Отсюда в силу
теорем 1-3 заключаем,
что функция
Математический анализ
возрастает
на интервалах
Математический анализ
и
Математический анализ,
убывает на
интервале
Математический анализ,
в точке
Математический анализ
достигает
максимального
значения
Математический анализ,
а в точке
Математический анализ
- минимального
значения
Математический анализ.

б) Пусть
Математический анализ.
Тогда
Математический анализ,
и единственной
критической
точкой является
Математический анализ.
Так как знак
производной
не меняется
при переходе
через эту точку,
то она не является
точкой экстремума.
График этой
функции приведен
в § 1 на рис. 7.

в) Пусть
Математический анализ,
Математический анализ.
Тогда
Математический анализ
при всех
Математический анализ.
Это означает,
что данная
функция возрастает
на интервалах
(Математический анализ)
и (Математический анализ).

г) Точка
Математический анализ
является критической
точкой функции
Математический анализ
- производная
функции в этой
точке не существует.
Функция достигает
в этой точке
минимума, что
иллюстрирует
ее график (рис.
5).

4. Эластичность
функции

Математический анализ

Пусть аргумент
Математический анализ
функции
Математический анализ
получает приращение
Математический анализ.
Тогда значение
функции изменяется
на величину
Математический анализ.
Отношение
Математический анализ
характеризует
среднее изменение
функции, приходящееся
на единицу
изменения ее
аргумента, а
предел этого
отношения при
Математический анализ
равен производной
Математический анализ.

Рассмотрим
относительные
изменения
переменных
Математический анализ
и
Математический анализ,
выраженные,
например, в
процентах:
Математический анализ
и
Математический анализ.
Их отношение

Математический анализ

показывает,
на сколько
процентов в
среднем меняется
Математический анализ
при изменении
Математический анализ
на
Математический анализ.
Предел этого
отношения при
Математический анализ
называется
эластичностью
функции
Математический анализ
и обозначается
Математический анализ,
то есть

Математический анализ.

Так
как

Математический анализ,

то
справедлива
формула

Математический анализ.

Примеры.
а) Пусть
Математический анализ,
тогда
Математический анализ
и, следовательно,
Математический анализ.
При
Математический анализ
получаем
Математический анализ,
то есть при
увеличении
Математический анализ
от 2 до 2,02 (на 1%) значение
Математический анализ
изменяется
примерно на
Математический анализ.

б) Пусть
Математический анализ,
тогда
Математический анализ
и, следовательно,
Математический анализ.
При
Математический анализ
получим
Математический анализ.
Следовательно,
увеличение
Математический анализ
от 3 до 3,03 ведет
к уменьшению
Математический анализ
примерно на
Математический анализ.

в) Пусть
Математический анализ,
тогда
Математический анализ
и, следовательно,
Математический анализ.
В этом случае
эластичность
постоянна и
равна
Математический анализ,
то есть при
любом значении
аргумента его
увеличение
на 1% ведет к
уменьшению
значения функции
также на
Математический анализ.

Функция
Математический анализ
называется
эластичной
в точке
Математический анализ
,
если
Математический анализ,
нейтральной,
если
Математический анализ,
и неэластичной,
если
Математический анализ.

Пример.
Дана зависимость
спроса
Математический анализ
от цены
Математический анализ:

Математический анализ.

Найдем
эластичность
спроса
Математический анализ,
и рассмотрим
ее значения
при некоторых
Математический анализ.
Так как
Математический анализ,
то
Математический анализ.
При
Математический анализ
имеем
Математический анализ,
откуда
Математический анализ,
то есть спрос
неэластичен.
Если
Математический анализ,
то
Математический анализ,
Математический анализ,
– спрос нейтрален.
При
Математический анализ
получим
Математический анализ,
то есть
Математический анализ
и, значит, спрос
эластичен.

Эластичность
спроса означает,
что его относительное
изменение по
абсолютной
величине превосходит
относительное
изменение
цены; неэластичность
означает меньшее
относительное
изменение
спроса по сравнению
с ценой; нейтральность
– равенство
этих изменений
по абсолютной
величине.

Пример.
Пусть зависимость
спроса от цены
представлена
функцией
Математический анализ.
Величина

Математический анализ

равна
выручке, получаемой
от продажи
товара в объеме,
равном спросу
на товар. Выясним,
как изменяется
спрос с увеличением
цены. Для этого
найдем производную
Математический анализ:

Математический анализ,

откуда

Математический анализ.

Будем предполагать,
что
Математический анализ,
поскольку, как
правило, спрос
уменьшается
с ростом цены.
В этом случае
Математический анализ
и, следовательно,
имеем

Математический анализ.

Отсюда
видно, что если
спрос эластичен
(Математический анализ),
то
Математический анализ,
и с повышением
цены выручка
от продажи
товара снижается;
если спрос
нейтрален (Математический анализ),
то
Математический анализ,
и выручка
мало зависит
от изменения
цены; если спрос
неэластичен
(Математический анализ),
то
Математический анализ,
и выручка
увеличивается
с ростом цены.

Упражнения

1. Найти
производные
Математический анализ
функций:

1)
Математический анализ;

2)Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ;

23)
Математический анализ;

24)
Математический анализ;

25)
Математический анализ;

26)
Математический анализ.

2. Определить
угол наклона
касательной
к графику функции:

1)Математический анализ
при
Математический анализ;

2)
Математический анализ
при
Математический анализ;

3)Математический анализ
при
Математический анализ;

  1. 4)Математический анализ
    приМатематический анализ.

3. Найти промежутки
возрастания
и убывания
функций и их
экстремумы:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

4. Найти
эластичность
функций:

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ;

  3. Математический анализ;

  4. Математический анализ;

  5. Математический анализ;

6)
Математический анализ.

5. Для
заданной зависимости
спроса
Математический анализ
от цены
Математический анализ
найти эластичность
спроса и вычислить
ее при заданном
значении
Математический анализ:

1)
Математический анализ;
2)
Математический анализ;
3)
Математический анализ.

6. Для
заданной зависимости
спроса
Математический анализ
от цены
Математический анализ
найти значения
цены, при которых
выручка возрастает
с увеличением
цены:

1)
Математический анализ;
2)
Математический анализ;
3)
Математический анализ.

Ответы и решения

1.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ;

23)
Математический анализ;

24)
Математический анализ;

25)
Математический анализ;

26)
Математический анализ.

2.

1) Угол
наклона касательной
Математический анализ
посколькуМатематический анализ;

2)
Математический анализ;
3)
Математический анализ,
4)
Математический анализ.

3.

1) При
Математический анализ
функция убывает,
при
Математический анализ
- возрастает;
Математический анализ
;

2) Функция
возрастает
при
Математический анализ
и
Математический анализ;
убывает при
Математический анализ
;
Математический анализ;
Математический анализ;

3) Функция
убывает при
всех
Математический анализ;
4) Функция возрастает
при всех
Математический анализ;

5) Функция
убывает при
Математический анализ,
возрастает
при
Математический анализ;

Математический анализ
;

6) Функция
убывает при
всех
Математический анализ;

7) Функция
возрастает
при
Математический анализ,
убывает при
Математический анализ;
Математический анализ;

8) Функция
убывает при
Математический анализи
Математический анализ,
возрастает
при
Математический анализ;

Математический анализ
,
Математический анализ;

9) Функция
возрастает
при
Математический анализ,
убывает при
Математический анализ;Математический анализ;

10) Функция
убывает при
Математический анализ,
возрастает
при
Математический анализ;
Математический анализ;

4.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ.

5.
1)
Математический анализ,
Математический анализ;
спрос нейтрален;
2)
Математический анализ,
Математический анализ;
спрос эластичен;
3)
Математический анализ,
Математический анализ;
спрос неэластичен.

6. 1)
Математический анализ;
2)
Математический анализ;
3) Таких значений
цены нет; выручка
не меняется
с ростом цены.

§
4. Неопределенный
интеграл

К понятию
неопределенного
интеграла
приводит задача
о нахождении
функции по ее
производной.
Эта задача
решается с
помощью операции
интегрирования,
обратной по
отношению к
операции
дифференцирования.

1.
Определение
интеграла и
правила интегрирования

Пусть для всех
Математический анализ,
принадлежащих
интервалу
Математический анализ,
выполнено
равенство

Математический анализ,

тогда
функция
Математический анализназывается
первообразной
функции
Математический анализ
на
Математический анализ.

Заметим,
что первообразная
функции
Математический анализ
определяется
не однозначно:
вместе с
Математический анализ
первообразными
являются функции
вида
Математический анализ,
где
Математический анализ
произвольная
постоянная.
Справедливо
утверждение:
любая первообразная
функции представима
в виде
Математический анализ
при некотором
значении
Математический анализ.

Совокупность
всех первообразных
функции
Математический анализ
называется
ее неопределенным
интегралом

и обозначается
символом
Математический анализ:

Математический анализ;

при
этом
Математический анализ
называется
подынтегральной
функцией
, а
Математический анализ
- переменной
интегрирования.

Операция нахождения
интеграла
называется
интегрированием.

Пример. а) Из
равенства
Математический анализ
заключаем, что
функция
Математический анализ
является
первообразной
функции
Математический анализ.
Следовательно,
можно записать

Математический анализ.

б)
Аналогично,
из равенства
Математический анализ
следует

Математический анализ.

В отличие от
производной
интеграл элементарной
функции может
не быть элементарной
функцией. Это
относится,
например, к
интегралам
от
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ.
Однако интегралы
всех основных
элементарных
функций выражаются
через элементарные
функции. Приведем
таблицу некоторых
из них, получаемую
из таблицы
производных,
и правила, по
которым можно
находить интегралы
других функций.

Таблица
интегралов

1)
Математический анализ
(Математический анализ);
2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;
4)
Математический анализ
Математический анализ.

Правила
интегрирования

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ,
    где -
    постоянная

Отметим,
что приведенные
правила аналогичны
соответствующим
правилам
дифференцирования.

Примеры. Найдем
интегралы,
применяя указанные
правила и таблицу:

а)
Математический анализ;

б)
Математический анализ;

в)
Математический анализ.

2.
Замена переменной
в неопределенном
интеграле

В некоторых
случаях нахождение
интеграла
упрощается
при переходе
к другой переменной
интегрирования.
При этом если
исходная и
новая переменные
Математический анализ
и
Математический анализ
связаны соотношением
Математический анализ,
где
Математический анализ
- обратимая
дифференцируемая
функция, то для
интегралов
справедливо
равенство

Математический анализ,

в правой
части которого
после вычисления
интеграла
следует сделать
обратную замену
Математический анализ.

В частности,
используя
замену
Математический анализ
(или
Математический анализ),
получаем формулу

Математический анализ,

позволяющую
обобщить табличные
интегралы.
Например:

Математический анализ
(Математический анализ),

Математический анализ,

Математический анализ,

где
Математический анализ
и
Математический анализ
- произвольные
постоянные,
Математический анализ.

Примеры.
Найдем интегралы,
применяя полученные
формулы:

а)
Математический анализ;

б)
Математический анализ;

в)
Математический анализ;

г)
интеграл
Математический анализ
найдем, сделав
замену
Математический анализ,
Математический анализ.
Тогда

Математический анализ,

где
использован
результат
примера в);

д)
Математический анализ.

УпражненияМатематический анализ

1. Найти
интегралы:

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ;

  3. Математический анализ

  4. Математический анализ;

  5. Математический анализ;

  6. Математический анализ;

  7. Математический анализ

  8. Математический анализ;

  9. Математический анализ;

  10. Математический анализ;

  11. Математический анализ;

  12. Математический анализ.

2. Найти
интегралы:

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ;

Математический анализ;

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ;

  3. Математический анализ;

  4. Математический анализ;

Математический анализ;

Математический анализ;

Математический анализ;

  1. Математический анализ;

  2. Математический анализ;

  3. Математический анализ;

  4. Математический анализ;

  5. Математический анализ;

  6. Математический анализ;

  7. Математический анализ;

  8. Математический анализ.

Ответы

1.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ.

2.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ.

§
5. Определенный
интеграл

Определенный
интеграл функции
равен пределу
интегральных
сумм, сопоставляемых
ей по некоторым
правилам. Для
непрерывной
неотрицательной
функции определенный
интеграл равен
площади фигуры,
заключенной
между графиком
функции и осью
Математический анализ.
При вычислении
определенного
интеграла от
непрерывной
на отрезке
функции используется
формула Ньютона-Лейбница,
выражающая
определенный
интеграл через
первообразную
функции.

1. Определение

Пусть функция
Математический анализ
определена
на отрезке
Математический анализ.
Разобьем отрезок
на
Математический анализ
частей точками
Математический анализ
(Математический анализ)
такими, что
Математический анализ.
Длины полученных
отрезков обозначим
Математический анализ
(Математический анализ),
и пусть
Математический анализ
– наибольшая
из этих длин.
Выберем на
каждом из отрезков
разбиения
произвольную
точку
Математический анализ
и составим
сумму

Математический анализ,
(1)

которую
назовем интегральной
суммой
для
функции
Математический анализ.

Рассмотрим
интегральные
суммы, соответствующие
разбиениям
отрезка
Математический анализ
при различных
значениях
Математический анализ.
Если существует
предел таких
сумм при
Математический анализ,
то он называется
определенным
интегралом

функции
Математический анализ
на отрезке
Математический анализ
и обозначается

Математический анализ,

при
этом функция
Математический анализ
называется
интегрируемой
(по Риману) на
отрезке
Математический анализ,
числа
Математический анализ
и
Математический анализ
называются
соответственно
нижним и верхним
пределами
интегрирования
.

Заметим,
что всякая
непрерывная
на отрезке
функция интегрируема
на этом отрезке.

Пример. Функция
Математический анализ
непрерывна
на отрезке
Математический анализ
и, следовательно,
интегрируема
на нем. Чтобы
вычислить
интеграл
Математический анализ,
достаточно
рассмотреть
любую последовательность
разбиений
отрезка
Математический анализ,
для которой
Математический анализ,
и найти предел
соответствующей
последовательности
интегральных
сумм. При этом
промежуточные
точки
Математический анализ
для каждого
разбиения можно
выбирать произвольно.
Рассмотрим
равномерные
разбиения вида
Математический анализ,
Математический анализ,
а в качестве
Математический анализ
выберем правые
концы отрезков
Математический анализ,
то есть положим
Математический анализ,
Математический анализ.
В этом случае
имеем
Математический анализ,
Математический анализ,
и интегральная
сумма (1) принимает
вид

Математический анализ.

Переходя
к пределу при
Математический анализ,
получаем

Математический анализ.

2. Геометрический
смысл

Пусть функция
Математический анализ
непрерывна
на отрезке
Математический анализ
и неотрицательна:
Математический анализ.
Фигуру, ограниченную
графиком функции
Математический анализ
, вертикальными
прямыми
Математический анализ
и
Математический анализ
и осью
Математический анализ,
назовем криволинейной
трапецией
.
Рассмотрим
разбиение
отрезка
Математический анализ,
описанное в
предыдущем
пункте, и соответствующую
интегральную
сумму (1). Заметим,
что слагаемые
в (1) равны площадям
прямоугольников
с основаниями
Математический анализ
и высотами
Математический анализ
(Математический анализ),
а вся сумма
представляет
площадь ступенчатой
фигуры, образованной
этими прямоугольниками,
см. Рис. 14. Предел
интегральных
сумм (если он
существует),
то есть определенный
интеграл, естественно
принять в качестве
площади криволинейной
трапеции
.

Математический анализ

Рис. 14.

3. Формула
Ньютона – Лейбница

Если функция
Математический анализ
непрерывна
на отрезке
Математический анализ
и
Математический анализ
- любая ее первообразная
на этом отрезке,
то справедлива
основная формула
интегрального
исчисления
:

Математический анализ,

называемая
формулой
Ньютона-Лейбница
.
Используя
краткое обозначение
Математический анализ,
эту формулу
можно записать
в виде

Математический анализ.

Таким
образом, вычисление
определенного
интеграла от
непрерывной
функции сводится
к отысканию
ее первообразной,
то есть, по существу,
неопределенного
интеграла, что
позволяет
использовать
методы, изложенные
в § 4.

Пример.
Найдем интеграл
Математический анализ
.
Поскольку
Математический анализ,
то по формуле
Ньютона-Лейбница
получаем

Математический анализ.

Пример.
Площадь
Математический анализ
криволинейной
трапеции,
ограниченной
графиком функции
Математический анализ,
осью
Математический анализ
и прямыми
Математический анализ
и
Математический анализ,
равна

Математический анализ.

Упражнения

1.
Вычислить
определенные
интегралы:

1)
Математический анализ;
6)
Математический анализ; 11)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;
7)
Математический анализ; 12)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;
8)
Математический анализ; 13)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;
9)
Математический анализ; 14)
Математический анализ.

5)
Математический анализ; 10)
Математический анализ;

2.
Найти площади
фигур, ограниченных
линиями:

  1. 1)
    Математический анализ,
    Математический анализ,
    Математический анализ,
    Математический анализ;

  2. 2)
    Математический анализ,
    Математический анализ,
    Математический анализ,
    Математический анализ;

3)
Математический анализ,
Математический анализ.

Ответы

1. 1) 4; 2)
Математический анализ;
3)
Математический анализ;
4) 1; 5) 0; 6) 2(Математический анализ);
7)
Математический анализ;
8) 2; 9) 0; 10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;
12)
Математический анализ:
13)
Математический анализ;
14)
Математический анализ;

2. 1) 12; 2) 1; 3)
Математический анализ;
Графики функций
Математический анализ
и
Математический анализ
пересекаются
в точках с абсциссами
Математический анализ.
Площадь фигуры
может быть
вычислена как
разность двух
площадей:
Математический анализ
и
Математический анализ.

§
6.
Функции
нескольких
переменных

Функции
нескольких
переменных
возникают при
необходимости
учета зависимости
некоторой
величины более
чем от одного
фактора. Многие
понятия: предел,
непрерывность,
производная
и другие, введенные
для функций
одной переменной,
переносятся
на случай функций
нескольких
переменных.

Мы
ограничимся
здесь рассмотрением
функций двух
переменных.
Для функций
большего числа
переменных
указанные
понятия вводятся
аналогично.

1. Определения

Пусть каждой
точке
Математический анализ
некоторого
множества
Математический анализ
плоскости
поставлено
в соответствие
число
Математический анализ,
тогда говорят,
что на множестве
Математический анализ
задана функция
двух переменных

Математический анализ.
Используется
также запись
Математический анализ.

Пример. В
экономических
приложениях
встречаются
производственные
функции
,
устанавливающие
связь между
затратами
производственных
ресурсов и
объемом выпускаемой
продукции.
Производственные
функции, как
правило, зависят
от многих переменных
(факторов). В
частности,
рассматриваются
двухфакторные
функции

Математический анализ,

где
Математический анализ
- объем производственных
фондов,
Математический анализ-
затраты труда,
Математический анализ-
объем выпускаемой
продукции.
Примером
двухфакторной
функции является
функция Кобба-Дугласа

Математический анализ,

где
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ
- постоянные.

Окрестностью
точки
Математический анализ
назовем внутренность
любого круга
с центром в
этой точке.
Пусть функция
Математический анализ
определена
в некоторой
окрестности
точки
Математический анализ.
Зафиксируем
значение
Математический анализ
и рассмотрим
функцию
Математический анализ
одной переменной
Математический анализ.
Производная
функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ
(если она существует)
называется
частной производной
функции
Математический анализ
в точке
Математический анализ
по переменной
Математический анализ
и обозначается
Математический анализ.
Аналогично
определяется
частная производная
Математический анализ
по переменной
Математический анализ.

Производные
Математический анализ
и
Математический анализ
функции
Математический анализ
называются
частными производными
первого порядка
.
Если они существуют
в некоторой
окрестности
точки
Математический анализ,
то частные
производные
от них по
Математический анализ
и
Математический анализ
называются
частными
производными
второго порядка

и обозначаются
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
где, например,
Математический анализ,
Математический анализ.
Производные
Математический анализ,
Математический анализ
называются
смешанными
частными
производными.

Аналогично
можно ввести
частные производные
третьего и
более высоких
порядков. Из
определения
частных производных
следует, что
для их нахождения
можно использовать
все правила,
справедливые
для производных
функций одной
переменной.

Примеры. Найдем
частные производные
первого и второго
порядков функций:

а)
Математический анализ,
тогда

Математический анализ,
Математический анализ,

Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ;

б)
Математический анализ,
тогда

Математический анализ,
Математический анализ,

Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ.

Равенство
смешанных
производных,
наблюдаемое
в приведенных
примерах, не
случайно. Справедливо
следующее общее
утверждение.

Теорема. Если
производные
Математический анализ,
Математический анализ
существуют
в некоторой
окрестности
точки
Математический анализ
и непрерывны
в этой точке,
то справедливо
равенство

Математический анализ.

2. Экстремумы

Точка
Математический анализ
называется
точкой локального
максимума

(минимума)
функции
Математический анализ,
если для всех
точек
Математический анализ
(Математический анализ)
из некоторой
окрестности
этой точки
справедливо
неравенство
Математический анализ
(Математический анализ).
Точки локального
максимума и
минимума называются
точками экстремума
функции.

Пример.
В экономическом
анализе применяется
функция прибыли

Математический анализ,

где
Математический анализ
– производственная
функция,
Математический анализ
– цена выпускаемой
продукции,
Математический анализ
и
Математический анализ
– факторные
цены. Пара чисел
(Математический анализ)
называется
оптимальным
планом
, если
функция
Математический анализ
достигает
максимума при
Математический анализ.
Таким образом,
поиск оптимального
плана сводится
к отысканию
точки экстремума
(максимума)
функции прибыли
Математический анализ.

Следующие
теоремы позволяют
находить точки
экстремума
функций.

Теорема (необходимое
условие экстремума
).
Если функция
Математический анализ
имеет в точке
экстремума
Математический анализ
частные производные
первого порядка,
то они равны
нулю в этой
точке:

Математический анализ.
(1)

Точки,
координаты
которых удовлетворяют
системе (1) называются
стационарными
точками
функции
Математический анализ.
Точки экстремума
функции следует
искать среди
ее стационарных
точек и тех
точек, в которых
частные производные
первого порядка
не существуют.

Теорема (достаточное
условие экстремума
).
Пусть функция
Математический анализ
имеет непрерывные
частные производные
второго порядка
в некоторой
окрестности
своей стационарной
точки
Математический анализ.
Положим

Математический анализ.

Тогда:

а) если
Математический анализ
и
Математический анализ,
то
Математический анализ
- точка максимума
функции;

б) если
Математический анализ
и
Математический анализ,
то
Математический анализ
- точка минимума
функции;

в) если
Математический анализ,
то в точке
Математический анализ
экстремума
нет.

Пример.
Стационарная
точка
Математический анализ,
Математический анализ
функции

Математический анализ

является
решением системы
уравнений

Математический анализ,
Математический анализ.

При этом
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ
и
Математический анализ.
Следовательно,
в точке
Математический анализ
функция имеет
локальный
минимум.

Пример. Пусть
Математический анализ.
Тогда
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
и, следовательно,
стационарная
точка
Математический анализ
не является
точкой экстремума.

Пример. Для
функции
Математический анализ
из системы
уравнений

Математический анализ,
Математический анализ,

найдем
четыре стационарные
точки:
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ.
Поскольку
Математический анализ,
Математический анализ,
Математический анализ,
то

Математический анализ.

В точках
Математический анализ
и
Математический анализ
выполнено
условие
Математический анализ,
поэтому функция
имеет экстремумы
в этих точках:
минимум в
Математический анализ,
так как
Математический анализ,
и максимум в
Математический анализ,
так как
Математический анализ.
В точках
Математический анализ
и
Математический анализ
экстремумов
нет, так как
Математический анализ
в этих точках.

Упражнения

1. Найти
частные производные
первого порядка
следующих
функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

2. Найти
смешанные
производные
функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

3. Найти
стационарные
точки функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;.

6)
Математический анализ);

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

4. Найти
точки локального
экстремума
функций:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

Ответы

1.

1)
Математический анализ,

Математический анализ;

2)
Математический анализ,
Математический анализ;

3)
Математический анализ,
Математический анализ
;

4)
Математический анализ,
Математический анализ;

5)
Математический анализ
,
Математический анализ;

6)
Математический анализ,
Математический анализ;

7)
Математический анализ
;
Математический анализ;

8)
Математический анализ,
Математический анализ;

9)
Математический анализ,
Математический анализ
;

10)
Математический анализ,
Математический анализ.

2.

1) 0;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ.

3.

1) (0,1);

2)
Математический анализ;

3) (1,2);

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ
и
Математический анализ;

6) стационарных
точек нет;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9) стационарных
точек нет;

10)
Математический анализ.

4.

1)
Математический анализ
- точка минимума;

2)
Математический анализ
- точка минимума;

3)
Математический анализ
- точка максимума;

4) и 5) функция
не имеет точек
экстремума;

6)
Математический анализ
- точка минимума;

7)
Математический анализ
- точка минимума;

8)
Математический анализ
- точка максимума;

9) функция
не имеет точек
экстремума;

10)
Математический анализ
- точка минимума;
Математический анализ
- точка максимума.

§ 7. Обыкновенные
дифференциальные
уравнения

Математическое
исследование
многих реальных
процессов
основано на
применении
дифференциальных
уравнений,
содержащих
производные
искомых функций.
Аппарат дифференциальных
уравнений
универсален:
разнообразные
процессы могут
описываться
одинаковыми
уравнениями.
Практика показывает,
что даже простые
математические
модели, использующие
дифференциальные
уравнения,
позволяют
качественно
изучить основные
черты сложных
явлений и оценить
их количественные
характеристики.

1. Определения

Порядком
дифференциального
уравнения
называется
наибольший
порядок входящих
в него производных.
Этот параграф
посвящен обыкновенным
дифференциальным
уравнениям
первого порядка
,
то есть уравнениям
вида

Математический анализ,

где
Математический анализ
- заданная функция,
Математический анализ
- независимая
переменная,
Математический анализ
- искомая функция,
Математический анализ
- ее производная.
Уравнения вида

Математический анализ

называются
разрешенными
относительно
производной
.

Функция
Математический анализ
называется
решением
дифференциального
уравнения, если
после ее подстановки
уравнение
обращается
в тождество.
Процесс нахождения
решений называется
интегрированием
уравнения.
Решить уравнение
значит найти
все его решения.

Ниже рассматриваются
только уравнения,
разрешенные
относительно
производной.
В простейшем
случае, когда
правая часть
уравнения не
зависит от
Математический анализ,
то есть уравнение
имеет вид

Математический анализ,

любое его решение
является
первообразной
функции
Математический анализ,
а интегрирование
уравнения
сводится к
отысканию
неопределенного
интеграла от
Математический анализ
(см. § 4). Совокупность
всех решений,
то есть общее
решение
уравнения,
можно представить
формулой

Математический анализ,

где
Математический анализ
- произвольная
постоянная.
При этом в данном
параграфе под
неопределенным
интегралом
функции условимся
понимать не
все множество
ее первообразных,
а любую фиксированную
первообразную.

Пример. Для
уравнения

Математический анализ,

интегрируя,
получим общее
решение

Математический анализ.

В следующем
пункте рассматривается
один класс
уравнений,
общее решение
которых представляется
в квадратурах,
то есть с использованием
интегралов
от известных
функций.

2. Уравнения
с разделяющимися
переменными

Дифференциальным
уравнением
с разделяющимися
переменными

называется
уравнение вида

Математический анализ,
(1)

где
Математический анализ
и
Математический анализ-
заданные функции.

Заметим, что
если для некоторого
значения
Математический анализ
выполнено
Математический анализ,
то функция
Математический анализ
является решением
уравнения (1).

Рассмотрим
случай
Математический анализ.
Разделив левую
и правую части
уравнения на
Математический анализ,
получим
Математический анализ,
откуда следует
соотношение
между первообразными
Математический анализ,
где
Математический анализ
- произвольная
постоянная.
Используя
формулу замены
переменной
в неопределенном
интеграле (см.
§ 4), получаем
равенство

Математический анализ,
(2)

определяющее
в неявном виде
семейство
решений уравнения
(1), зависящее
от произвольной
постоянной.

Замечание.
Чтобы из бесконечного
множества
решений дифференциального
уравнения
выделить частное
решение
нужно
задать какое-либо
дополнительное
условие, например,

Математический анализ,
(3)

где
Математический анализ,
Математический анализ
- некоторые
постоянные.
Условие (2) называется
начальным,
а задача отыскания
решения, удовлетворяющего
такому условию,
называется
задачей Коши.

Пример. Найдем
общее решение
уравнения

Математический анализ.

Используя (2),
получаем
Математический анализ,
то есть
Математический анализ,
где
Математический анализ
- произвольная
постоянная.
Отсюда находим
семейство
решений
Математический анализ.
Кроме того,
имеется решение
Математический анализ,
при котором
правая часть
уравнения
обращается
в ноль. Все найденные
решения можно
представить
одной формулой

Математический анализ,

где
Математический анализ
- произвольная
постоянная.

Пример. Рассмотрим
уравнение

Математический анализ.
(4)

Как и в предыдущем
примере,
Математический анализ
является решением.
При
Математический анализ
получаем
Математический анализ
или
Математический анализ,
откуда находим
бесконечное
семейство
решений

Математический анализ.

Пример. Решим
задачу Коши

Математический анализ,
Математический анализ.

Заметим, что
функция
Математический анализ
удовлетворяет
уравнению, но
не удовлетворяет
начальному
условию. Пусть
Математический анализ,
тогда общее
решение определяется
из равенства
Математический анализ,
откуда
Математический анализ
и, следовательно,

Математический анализ.

При
Математический анализ
с учетом начального
условия получим
Математический анализ,
откуда
Математический анализ.
Таким образом,
решением задачи
Коши является
функция

Математический анализ.

3.
Математические
модели некоторых
процессов

Рассмотрим
примеры задач,
исследование
которых проводится
с использованием
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.

Пример (закон
роста населения
Земли
). Пусть
Математический анализ
- число людей
на Земле в момент
времени
Математический анализ.
Демографические
данные показывают,
что за небольшой
интервал времени
Математический анализ
прирост населения
Математический анализ
пропорционален
квадрату числа
людей и интервалу
времени:

Математический анализ,

где
Математический анализ
- некоторая
постоянная.
Разделив левую
и правую части
этого равенства
на
Математический анализ
и перейдя к
пределу при
Математический анализ,
получим уравнение

Математический анализ,
(5)

где
Математический анализ
- дифференцируемая
функция, приближающая
функцию
Математический анализ.
Уравнение (5)
аналогично
уравнению (4),
рассмотренному
выше. Его общее
решение имеет
вид
Математический анализ.
Заметим, что
известные
демографические
данные хорошо
согласуются
с частным решением

Математический анализ,

где время
Математический анализ
исчисляется
в годах от начала
нашей эры. Функция
Математический анализ
не определена
при
Математический анализ,
поэтому закон
роста населения
в будущем должен
измениться.

Пример (модель
производства
).
Пусть
Математический анализ
- интенсивность
выпуска продукции
некоторым
предприятием
в момент времени
Математический анализ,
а
Математический анализ
- цена продукции.
Доход от продажи
этой продукции
составляет
Математический анализ.
Пусть часть
вырученных
средств, равная

Математический анализ, (6)

где
Математический анализ
- некоторое
число, направляется
на расширение
производства.
Предположим,
что скорость
изменения
интенсивности
выпуска продукции
прямо пропорциональна
объему инвестиций:

Математический анализ,
(7)

где
Математический анализ-
постоянная.
Из (6) и (7) получаем
уравнение

Математический анализ,
(8)

общее решение
которого при
постоянном
Математический анализ
имеет вид
Математический анализ,
где
Математический анализ.
Если задано
начальное
условие

Математический анализ,
(9)

то
решением задачи
Коши (8), (9) является
функция

Математический анализ.

Уравнение (8)
называется
уравнением
естественного
роста
. Им описываются
также процессы
радиоактивного
распада в физике
и размножения
бактерий в
биологии.

На практике
с увеличением
выпуска продукции
происходит
насыщение рынка
и цена падает.
Если, например,
Математический анализ,
где
Математический анализ
и
Математический анализ-
положительные
постоянные,
то вместо (8) получим
уравнение

Математический анализ,
(10)

аналогичное
уравнению,
рассматриваемому
в следующем
примере.

Пример (модель
рекламы
). Пусть
Математический анализ
- число людей,
знающих к моменту
времени
Математический анализ
некоторую
новость, а
Математический анализ-
общее число
людей. Будем
предполагать,
что скорость
распространения
новости
Математический анализ
прямо пропорциональна
как числу людей
Математический анализ,
уже ее знающих,
так и числу
людей
Математический анализ,
еще не знающих
новости, то
есть

Математический анализ,
(11)

где
Математический анализ-
постоянная.
Разделив переменные
в этом уравнении,
получим

Математический анализ,

откуда, используя
результат
последнего
примера §
4, найдем

Математический анализ

или

Математический анализ.

График этой
функции называется
логистической
кривой
. Для
случая
Математический анализ,
соответстщего
условию, что
в момент
Математический анализ
половина людей
знает новость
(Математический анализ),
эта

кривая представлена
на рис. 15.

Математический анализ

Рис.15.

Рассматриваемое
уравнение
обладает также
решениями
Математический анализ
и
Математический анализ,
обращающими
в ноль его правую
часть. Эти решения
соответствуют
ситуациям,
когда новость
не распространяется:
в первом случае
в начальный
момент ее никто
не знает, а во
втором - знают
все.

Отметим, что
уравнения (10)
и (11), описывающие
совершенно
разные процессы,
по существу,
совпадают.
Уравнения того
же типа возникают
при описании
динамики эпидемий,
процессов
размножения
бактерий в
ограниченной
среде обитания,
применяются
в математической
теории экологии.

Упражнения

1.
Решить уравнения:

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ;

23)
Математический анализ;

24)
Математический анализ;

25)
Математический анализ;

26)
Математический анализ.

2.
Решить задачи
Коши:

1)
Математический анализ,
Математический анализ;

2)
Математический анализ,
Математический анализ;

3)
Математический анализ,
Математический анализ;

4)
Математический анализ,
Математический анализ;

5)
Математический анализ,
Математический анализ;

6)
Математический анализ,
Математический анализ;

7)
Математический анализ,
Математический анализ;

8)
Математический анализ,
Математический анализ;

9)
Математический анализ,
Математический анализ;

10)
Математический анализ,
Математический анализ;

11)
Математический анализ,
Математический анализ;

12)
Математический анализ,
Математический анализ;

13)
Математический анализ,
Математический анализ;

14)
Математический анализ,
Математический анализ;

15)
Математический анализ,
Математический анализ,

16)
Математический анализ,
Математический анализ;

17)
Математический анализ,
Математический анализ;

18)
Математический анализ,
Математический анализ;

19)
Математический анализ,
Математический анализ;

20)
Математический анализ,
Математический анализ.

Ответы

1.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Общее решение
находится

из
уравнения
Математический анализ;

21)
Математический анализ;

22)
Математический анализ;

23)
Математический анализ;

24 )
Математический анализ;

25)
Математический анализ;

26)
Математический анализ.

2.

1)
Математический анализ;

2)
Математический анализ;

3)
Математический анализ;

4)
Математический анализ;

5)
Математический анализ;

6)
Математический анализ;

7)
Математический анализ;

8)
Математический анализ;

9)
Математический анализ;

10)
Математический анализ;

11)
Математический анализ;

12)
Математический анализ;

13)
Математический анализ;

14)
Математический анализ;

15)
Математический анализ
и
Математический анализ;

16)
Математический анализ;

17)
Математический анализ;

18)
Математический анализ;

19)
Математический анализ;

20)
Математический анализ.



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

46 + = 47