by

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Федеральное агентство по образованию

ГОУ "Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова"

Кафедра математического анализа

"Некоторые уравнения математической физики в частных производных"

Ульяновск, 2008 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Уравнения гиперболического типа

1.1 Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

1.2 Уравнение колебаний струны

1.3 Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны

1.4 Решение уравнений

Глава 2. Уравнения параболического типа

2.1 Уравнение распространения тепла в стержне

2.2 Решение задач

Заключение

Литература


Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом "Интегральном исчислении" Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.


Глава 1. Уравнения гиперболического типа


1.1 Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.


1.2 Уравнение колебаний струны

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины Некоторые уравнения математической физики в частных производных в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Предположим, что концы струны закреплены в точках Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией Некоторые уравнения математической физики в частных производных, которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то будем предполагать, что длина элемента струны Некоторые уравнения математической физики в частных производных равняется ее проекции на ось Ox, т.е. Некоторые уравнения математической физики в частных производных Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Рис. 1.2.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент Некоторые уравнения математической физики в частных производных, будет равна Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Так как угол Некоторые уравнения математической физики в частных производных мал, то можно положить Некоторые уравнения математической физики в частных производных, и мы будем иметь:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть Некоторые уравнения математической физики в частных производных - линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Ускорение элемента равно Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Сокращая на Некоторые уравнения математической физики в частных производных и обозначая Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получаем уравнение движения

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.(1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция Некоторые уравнения математической физики в частных производных должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны Некоторые уравнения математической физики в частных производных, и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при Некоторые уравнения математической физики в частных производных неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(2’)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Таким образом, должно быть

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть Некоторые уравнения математической физики в частных производных или Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Если же Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то струна будет находится в покое, следовательно, Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

1.3 Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

удовлетворяющее однородным граничным условиям

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (9)

и начальным условиям

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(11)

и представимое в виде произведения

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

или, после деления на XT,

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ Некоторые уравнения математической физики в частных производных, t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(14)

где Некоторые уравнения математической физики в частных производных – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(15)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(16)

Граничные условия (11) дают:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X(Некоторые уравнения математической физики в частных производных) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра Некоторые уравнения математической физики в частных производных, при которых существуют нетривиальные решения задачи:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра Некоторые уравнения математической физики в частных производных называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр Некоторые уравнения математической физики в частных производных отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При Некоторые уравнения математической физики в частных производных ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

Некоторые уравнения математической физики в частных производныхНекоторые уравнения математической физики в частных производных

т. е.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Но в рассматриваемом случае Некоторые уравнения математической физики в частных производных – действительно и положительно, так что Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)Некоторые уравнения математической физики в частных производных0.

2. При Некоторые уравнения математической физики в частных производных = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)Некоторые уравнения математической физики в частных производных0.

3. При Некоторые уравнения математической физики в частных производных › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Граничные условия дают:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2Некоторые уравнения математической физики в частных производных0, поэтому

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(19)

Или

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях Некоторые уравнения математической физики в частных производных, равных

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям Некоторые уравнения математической физики в частных производныхn соответствуют решения уравнения (9)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (22)

где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке Некоторые уравнения математической физики в частных производных, разлагается в ряд Фурье

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (26)

где

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (27)

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(28)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция Некоторые уравнения математической физики в частных производных должна быть дважды дифференцируемой, а Некоторые уравнения математической физики в частных производных - один раз дифференцируемой.

1.4 Решение уравнений

1. Найти решение уравнения:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных, если Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение:

Так как Некоторые уравнения математической физики в частных производных, а Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то

Некоторые уравнения математической физики в частных производных,

где Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Таким образом, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, или Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

2. Найти форму струны, определяемой уравнением Некоторые уравнения математической физики в частных производных в момент Некоторые уравнения математической физики в частных производных, если

3. Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение:

Имеем

Некоторые уравнения математической физики в частных производных,

т.е.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных, или Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Если Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то Некоторые уравнения математической физики в частных производных, т.е. струна параллельна оси абсцисс.

4. Струна, закрепленная на концах Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных, имеет в начальный момент форму параболы Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

5. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

Решение:

Здесь Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных; Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Для нахождения коэффициента Некоторые уравнения математической физики в частных производных дважды интегрируем по частям:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных;

Некоторые уравнения математической физики в частных производных,

т.е.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных;

Некоторые уравнения математической физики в частных производных =

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Подставляя выражения для Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных получим:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Если Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то Некоторые уравнения математической физики в частных производных, а если Некоторые уравнения математической физики в частных производных, то Некоторые уравнения математической физики в частных производных; поэтому окончательно имеем

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных, равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Определить форму струны для любого момента времени t.

Решение:

Здесь Некоторые уравнения математической физики в частных производных, а Некоторые уравнения математической физики в частных производных в интервале Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных вне этого интервала.

Следовательно, Некоторые уравнения математической физики в частных производных;

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Отсюда

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Или

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Некоторые уравнения математической физики в частных производных


Глава 2. Уравнения параболического типа

2.1 Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

Некоторые уравнения математической физики в частных производных(1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = Некоторые уравнения математической физики в частных производныхх). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время Некоторые уравнения математической физики в частных производныхt, будет равно

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (2)

то же самое с абсциссой х2:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (3)

Приток Некоторые уравнения математической физики в частных производныхQ1 - Некоторые уравнения математической физики в частных производныхQ2 в элемент стержня за время Некоторые уравнения математической физики в частных производныхt будет равняться:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (4)

Этот приток тепла за время Некоторые уравнения математической физики в частных производныхt затратился на повышение температуры элемента стержня на величину Некоторые уравнения математической физики в частных производныхu:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Или

Некоторые уравнения математической физики в частных производных (5)

где с – теплоемкость вещества стержня, Некоторые уравнения математической физики в частных производных – плотность вещества стержня (Некоторые уравнения математической физики в частных производныхНекоторые уравнения математической физики в частных производныхxS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получим:

(6)

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для Некоторые уравнения математической физики в частных производных, следующие:

u (x, 0) = φ(x), (7)

u (0, t) = ψ1(t), (8)

u (Некоторые уравнения математической физики в частных производных, t) = ψ2(t). (9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при Некоторые уравнения математической физики в частных производных в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = Некоторые уравнения математической физики в частных производных поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области Некоторые уравнения математической физики в частных производных, удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.2 Решение задач

1. Задача:

Решить уравнение

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Уравнение Некоторые уравнения математической физики в частных производных даёт первый интеграл Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Преобразуем три дроби Некоторые уравнения математической физики в частных производных, используя правило работы с равными дробями:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Отсюда получим второй первый интеграл

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Возьмём следующее уравнение Некоторые уравнения математической физики в частных производных, подставим Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных в это уравнение, получим

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решим полученное линейное уравнение:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Получим третий первый интеграл

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

2. Задача

Найти общее решение уравнения

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение: Составим и решим систему уравнений характеристик

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Первый интеграл равен Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Функция Некоторые уравнения математической физики в частных производных вида Некоторые уравнения математической физики в частных производных, где Некоторые уравнения математической физики в частных производных - произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения.

3. Задача

Решить уравнение

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение. Составим систему уравнений характеристик

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Первая пара дробей даёт первый интеграл

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Подставим Некоторые уравнения математической физики в частных производных во вторую пару дробей, получим

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Интегрируя последнее уравнение, получим второй первый интеграл

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Общее решение имеет вид

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

4. Задача

Решение задачу Коши

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение. Найдем два первых интеграла. Составим систему

Некоторые уравнения математической физики в частных производныхгиперболический колебание дифференциальный теплопроводность интеграл

Отсюда получим первый интеграл Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решая уравнение Некоторые уравнения математической физики в частных производных при условии, что Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получим второй первый интеграл

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Подставим Некоторые уравнения математической физики в частных производных в два первых интеграла:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Исключая Некоторые уравнения математической физики в частных производных из этой пары равенств, получим связь между первыми интегралами Некоторые уравнения математической физики в частных производных. Подставляя вместо Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных первые интегралы, получим решение задачи Коши: Некоторые уравнения математической физики в частных производных

5. Задача

Решить задачу Коши Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение. Найдем первые интегралы системы уравнений характеристики Некоторые уравнения математической физики в частных производных; они равны

Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Найдём, используя начальные данные, связь между первыми интегралами:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Некоторые уравнения математической физики в частных производныхНекоторые уравнения математической физики в частных производных.

Подставим первые интегралы Некоторые уравнения математической физики в частных производных и Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получим решение:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

6. Решить уравнение Некоторые уравнения математической физики в частных производных для следующего начального распределения температуры стержня:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение: Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Так как Некоторые уравнения математической физики в частных производных в интервале Некоторые уравнения математической физики в частных производных равна постоянной температуре Некоторые уравнения математической физики в частных производных, а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Действительно полагая Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получим

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Таким образом, решение выразится формулой

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Графиком функции Некоторые уравнения математической физики в частных производных является кривая:

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Найти решение уравнения
Некоторые уравнения математической физики в частных производных, удовлетворяющее начальному условию Некоторые уравнения математической физики в частных производных и краевому условию Некоторые уравнения математической физики в частных производных.

Решение: Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Или

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Полагая Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т.е.

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Полагая Некоторые уравнения математической физики в частных производных, Некоторые уравнения математической физики в частных производных, получим

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Таким образом, решение принимает вид

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Заключение

В курсовой работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, распространение тепла в стержне.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной курсовой работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.


Литература

1. Н. С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", М., "Наука", 1972, том. 2.

2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер "Курс математического анализа", М., "Просвещение", 1976.

3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1972.

4. Владимиров В. С. "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1988.




Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

70 + = 73