МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»

РЕФЕРАТ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

Тригонометрические уравнения

в школьном курсе

алгебры

Ф.И.О. учащегося
Клинцова Елизавета

Класс
11А

Руководитель
К
озак Татьяна Ивановна,

учитель математики I категории

пгт. Прогресс

2007 год

Содержание

Введение

…..

3

1.

История тригонометрии

…..

4

1.1 История тригонометрии как науки

…..

4

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

…..

5

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

…..

6

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

…..

7

1.5 тригонометрия в современной школе

…..

7

2.

Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

…..

9

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

…..

9

2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

…..

12

2.3 Однородные уравнения

…..

14

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители

…..

16

2.5 Задачи на повторение

…..

17

3.

Тригонометрические уравнения на экзаменах

…..

18

3.1 Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы

…..

18

3.2 Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене

…..

18

3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения

…..

18

3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4

…..

20

3.2.3 Тригонометрические уравнения повышенной сложности

…..

21

Заключение

…..

25

Используемая литература

…..

26

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Введение

Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название "тригонометрия" греческого происхождения, обозначающие "измерение треугольника": τρі
γωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.

В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.

На уроках алгебры в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.

В курсе алгебры и начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.

Итак, цель
моей работы:

¨ систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.

Задачи:

· повторить решение простейших тригонометрических уравнений;

· провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;

· рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.

Используемы методы:

¨ научный (изучение литературы);

¨ исследовательский.

1.
История тригонометрии

1.1 История тригонометрии как науки

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсеОдним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения "великое построение" (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.

Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку" а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе В Х1-ХШ вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему "Трактат о полном четырехугольнике". Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсеС XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476 гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд "Пять книг о треугольниках всех видов", сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107 вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса "Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников ".

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу ("тригонометрический круг" или "единичная окружность"). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

Тригонометрия состоит их двух различных частей:

а) первой (ее обычно называют гониометрией) – части математического анализа, где независимо от геометрических соображений аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй – собственно тригонометрии, где соединяются математический анализ и геометрия того или иного пространства.

В XVIII в., и особенно в XIX в., в связи с бурным развитием дифференциального исчисления, возникает новый предмет – математический анализ, и тригонометрия становится его составной частью. А учебный предмет тригонометрия с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. То есть возникают два направления учебного предмета тригонометрии: аналитическое решение треугольников и изучение свойств круговых (тригонометрических) функций.

В 1848 г. академик М.В. Остроградский предложил систему индуктивного изучения тригонометрии:

а) сначала (в младших классах) изучается тригонометрия острого угла как учение о вычислительных приемах решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) затем (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого угла, то есть излагаются основы теории тригонометрических функций любого действительного аргумента.

С тех пор эта система успешно применялась в отечественной методике обучения тригонометрии в школе

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

Основательное изучение тригонометрии начиналось очень рано, уже в 14 лет.

В Программе 1921 г. предписывалось во втором полугодии 7-го класса (2 часа в неделю) изучить раздел "Тригонометрия".

Изучение тригонометрического материала в семилетней школе было нацелено, прежде всего, на освоение практических методов решения определенных вычислительных геометрических задач, на расширение возможности вычисления элементов треугольников – на тригонометрию треугольника. При этом раннее введение тригонометрии треугольников существенно повышало требования к числовой культуре школьника и, прежде всего, требовало знания элементов теории приближений и измерений.

Несколько позже, уже в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание (в пояснительной записке замечено даже "в особенности в сельских школах") на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.

А вот в 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается "решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц".

Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина "Тригонометрия", на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебры. Для этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник (С. И. Новоселов "Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы, выдержавший десять изданий).

Учебник тригонометрии предназначался для старшей ступени обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим уравнениям уделялось совсем немного внимания. В учебнике рассматривались простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название "реформа А.Н. Колмогорова", отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых "Поворот и тригонометрические функции".

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная школьная дисциплина и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось по учебнику Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой. В поддержку этого учебника был издан сборник задач А.И. Худобина, Н.И. Худобина, М.Ф. Шуршалова.

Но эти учебник и задачник переходного периода проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник "Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы" (1975) под редакцией А.Н. Колмогорова. В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

1.5 Тригонометрия в современной школе

К концу XX в. в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной Г.М. Кузнецовой в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. в курсе алгебры - синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

2. в курсе геометрии - синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла, решение прямоугольных треугольников, метрические соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени обучения для общеобразовательных классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к необязательному материалу.

Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения для общеобразовательных классов.

Введение всеобщего и обязательно десятилетнего образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это проблема обучения всех детей в течение одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное значение в представлениях некоторых специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в вузе.

До шестидесятых годов такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т.п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

2. Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

Решением уравнения с неизвестным х называют число хо
, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение любого уравнения: сводится к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax2
+ вx + c =0.

Необходимость классификации уравнений вызывается невоз­можностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта (1596-1650) клас­сифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффи­циентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное че­рез коэффициенты.

В тригонометрии предпринимались попытки создавать свою спе­цифическую классификацию. Пример такой классификации, со­держащей восемь типов тригонометрических уравнений, приво­дится в пособии И.К. Андронова, А.К. Окунева «Курс тригоно­метрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Оче­видно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова (2001 г.).

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно на­чинать с простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение f
(
x
) = а,
где а
– данное число, а f
(
x
)
– одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sin
t
=
a
,
cos
t
=
a
,
tg
t
=
a
,
ctg
t
=
a
.

Рассмотрим, при каких значениях а
простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.

А)

Уравнение

sin

t

=

a

.

Так как множество значений функции у =
sinx
– отрезок [– 1; 1], то уравнение sin
t
=
a
разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1.
И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t
= (– 1)
n

arcsin
a
+ π
n
, где
n
Î
Z
. Соответственно, если |а| > 1,
то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения sin
t
=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе часто, не обращая внимания на то, что «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе > 1, пишут ответ: t
= (– 1)
n

arcsin
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе+
π
n
,
где n
Î
Z
,
который не имеет никакого смысла, т. к. функция arcsin
a
не определена в точке а =
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a).

Если а = – 1; 0; 1,
то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1 х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

а = 0 х = π
n
, где
n
Î
Z
;

а = 1 х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Б) Уравнение

cos

t

=

a

.

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1.
Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t
=
±
arccos
а + 2π
n
, где
n
Î
Z
.
Соответственно, если |а| > 1,
то уравнение не имеет действительных корней.

Если а = – 1; 0; 1,
то также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1 х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

а = 0 х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

а = 1 х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

В) Уравнение

tg

t

=

a

.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а
Î
(–
µ
;
µ
).
Все решения уравнения задаются формулой t
=
arctg
а + π
n
, где
n
Î
Z
.
Частные случаи здесь не рассматривают.

Г) Уравнение с

tg

t

=

a

.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а
Î
(–
µ
;
µ
)
. Все решения уравнения задаются формулой t
=
ar
с
ctg
а + π
n
, где
n
Î
Z
.
Частные случаи здесь также не рассматривают.

Ряд уравнений путём элементарных преобразований: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим.

При решении простейших тригонометрических уравнений вида А
sin
(вх + с) =
d
,
А
cos
(вх + с) =
d
, А
tg
(вх + с) =
d
, А
ctg
(вх + с) =
d
следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin
(вх + с) = а,
cos
(вх + с) = а,
tg
(вх + с) = а,
ctg
(вх + с) = а.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х,
решая алгебраическое уравнение.

К таким уравнениям относятся уравнения:

sin t
=
a

№ 138, 139, 142(а, в), 143(а), 144(а), 145(б, г), 146(б), 173(в)

cos
t
=
a

№ 136, 137, 142(б, г), 143(б), 144(в), 145(а), 146(г), 172(б)

tg
t
=
a

№ 140(а, в, г), 141(а, в), 143(г), 144(б), 145(в), 146(в), 173(б)

ctg
t
=
a

№ 140(б), 141(б, г), 143(б), 144(г)

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

№ 136(б).

с
os
x
= –
,

х =
±
arccos
(–
) + 2π
n
,
n
Î
Z
,

х =
±
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Ответ: х =
±
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

№ 139(б).

2 sin x +
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
= 0,

2 sin x = –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
,

sin x = –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
,

х
= (– 1)n
arcsin (–

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) +
π
n, n
Î
Z,

х = (– 1)
n

+ 1

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
.

Ответ: х = (– 1)
n

+ 1

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
.

№ 144(г).

ctg
(–
) = 1,


ctg
= 1,

ctg
= – 1,

=
ar
с
ctg
(– 1) + π
n
,
n
Î
Z
,

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
,

х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + 2π
n
,
n
Î
Z
.

Ответ: х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + 2π
n
,
n
Î
Z
.

№ 145(в).

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
tg (
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) = 3,

tg (
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) =
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
= arctg
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
n, n
Î
Z,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе = π
n
,
n
Î
Z
,

х = 3π
n
,
n
Î
Z
.

Ответ: х = 3π
n
,
n
Î
Z
.

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos
2

х = 1 –
sin
2

х,
sin
2

х = 1 –
cos
2

х, «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Уравнения вида sin
ах
±
sin
вх = 0,
cos
ах
±
cos
вх = 0
решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.

Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.

Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а
-
sin
х + в
-
с
os
x
= 0, а
-
sin
2

х + в
-
sin
х
-
с
os
x
+ с
-
с
os
2

x
= 0

2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t
=
f
(
x
),
где f
(
x
)
– одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin
2

x
+ в
sin
x
+
c
= 0, а
cos
2

x
+ в
sin
x
+
c
= 0
и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin
2

х +
cos
2

х = 1.

В учебнике
это: № 164, 165, 166, 167, 168(б, г), 171(б, г).

Покажу на примерах, как решаются такие уравнения.

№164(
а
).

2
sin
2

x
+
sin
х – 1 = 0.

Введём новую переменную: t
=
sin
х.
Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2
t
2

+
t
– 1 = 0.
это квадратное уравнение. Его корни: t
1

= – 1;
t
2

=
.
Тогда sin
х = –1
и sin
х = –
.
Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sin
х = –1
(это частный случай),

х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

2) sin
х = –
,

х
= (– 1)n
arcsin (–

) +
π
k, k
Î
Z,

х
= (– 1)k + 1

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

Ответ: х
n

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
х
k

= (– 1)k + 1

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

№ 166(
в
).

4
с
os x = 4 – sin2
x,

4
с
os x = 4 – (1 – cos2
x),

4
с
os x = 4 – 1 + cos2
x,

cos
2

x
– 4с
os
x
+ 3 = 0.

Пусть cos x = t,
тогда t2
– 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0,
то t
1

= 1,
t
2

= 3.

Если t
= 1,
то cos
x
= 1,

х = 2π
n
,
n
Î
Z
.

Если t
= 3,
то cos
x
= 3,

корней нет, т.к. 3
Ï
[– 1; 1].

Ответ: х = 2π
n
,
n
Î
Z
.

№ 16
7
(
б
).

tg
x
– 2
ctg
x
+ 1 = 0.

Применим формулу: «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе.

Получим:
tg
x
– 2
-
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + 1 = 0.

Пусть tg x = t,
тогда t –
+ 1 = 0,

t
2

+
t
– 2 = 0
(при условии t

0
),

Так как а + в + с = 0,
то t
1

= 1,
t
2

= – 2.

Если t
= 1,
то tg
x
= 1,

х =
arctg
1 + π
n
,
n
Î
Z
,

х
n

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
.

Если t
= – 2,
то tg
x
= – 2,

х =
arctg
(– 2) + π
k
,
k
Î
Z
,

xk

= –
arctg
2 + π
k
,
k
Î
Z
.

Ответ: х
n

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
n, n
Î
Z, xk
= – arctg 2 +

π
k, k
Î
Z.

2.3 Однородные уравнения

Здесь я рассмотрю довольно часто встречающиеся на практике тригонометрические уравнения специального вида.

Рассмотрим уравнения вида ао

-
sinn

х +
a
1

-
sinn

– 1

х
-
с
os
x
+
a
2

-
sinn

– 2

х
-
с
os
2

x
+ … +
a
n

-
с
os
n

x
= 0,
где ао
,

a
1

,
a
2

, …,
a
n

– действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.

Такое уравнение называется однородным относительно sin
х
и с
os
x
,
а число n
называют показателем однородности.

Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2, т.к. в школьном курсе алгебры рассматриваются только такие однородные уравнения.

I
)
Сначала скажу о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём рассмотрю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0,
то уравнение принимает вид в
-
с
os
x
= 0,
т. е. с
os
x
= 0
– такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0
получаем sin
х = 0,
что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n
= 1
имеем уравнение а
-
sin
х + в
-
с
os
x
= 0
– это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0.

Разделив обе части уравнения почленно на с
os
x
,
получим уравнение равносильное данному: а
-
tg
x
+ в = 0
или tg
x
= –
, откуда х = –
arctg
+ π
n
,
n
Î
Z
.

Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что с
os
x
отличен от нуля. Предположим, что с
os
x
= 0.
Тогда однородное уравнение а
-
sin
х + в
-
с
os
x
= 0
примет вид а
-
sin
х = 0, т. е.
sin
х = 0
(ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и с
os
x
= 0,
и sin
х = 0,
а это невозможно, т. к. sin
х
и с
os
x
обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на с
os
x
– вполне благополучная операция.

Уравнения вида а
-
sin
m
х + в
-
с
os
mx
= 0
тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на с
os
mx
.

II
)
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n
= 2
имеем однородное уравнение вида а
-
sin
2

х + в
-
sin
х
-
с
os
x
+ с
-
с
os
2

x
= 0.

Если коэффициент а
отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin
2

х
с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной с
os
x
не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на с
os
2

x
.
Что это даст?

Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а
-
tg
2

x
+ в
-
tg
x
+ с = 0.
Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg
x
.

Таким методом решаются следующие номера из учебника: № 169, 170(а,г),

III
)
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а
-
sin
2

х + в
-
sin
х
-
с
os
x
+ с
-
с
os
2

x
= 0
коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin
2

х.
Тогда уравнение принимает вид: в
-
sin
х
-
с
os
x
+ с
-
с
os
2

x
= 0.

Это уравнение можно решить разложением на множители:

с
os
x

-
sin
х + с
-
с
os
x
) = 0,

с
os
x
= 0 или в
-
sin
х + с
-
с
os
x
= 0.

Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = 0,
т. е. когда однородное уравнение имеет вид а
-
sin
2

х + в
-
sin
х
-
с
os
x
= 0
(здесь можно вынести за скобки sin
х
).

Фактически получился алгоритм решения уравнения

а
-
sin
2

х + в
-
sin
х
-
с
os
x
+ с
-
с
os
2

x
= 0:

1)
Посмотреть есть ли в уравнении член а
sin
2

х.

2)
Если член а
sin
2

х
в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0
), то уравнение решается делением обеих его частей на с
os
2

x
и последующим введение новой переменной t
=
tg
x
.

3)
Если член а
sin
2

х
в уравнении не содержится (т. е. а = 0
), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят с
os
x
.

Также дело обстоит и в однородных уравнениях вида:

а
-
sin
2

m
х + в
-
sin
m
х
-
с
os
mx
+ с
-
с
os
2

mx
= 0.

В учебнике для 10-11 классов к этому типу уравнений относится немного уравнений: №169, №170(а, г), №171(в), №172(а, в).

Хочется отметить, что некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.

№170(а).

4
sin
2

х –
sin
2
x
= 3.

Применим формулы:
sin
2
x
= 2
sin
x
cos
x
,
sin
2

х + с
os
2

x
= 1
. Получим:

4sin2

х
– 2sin x cos x = 3(sin2

х
+
с
os2
x),

4
sin
2

х – 2
sin
x
cos
x
– 3
sin
2

х – 3с
os
2

x
= 0,

sin2

х
– 2sin x cos x – 3
с
os2
x = 0.

Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на с
os
2

x

tg
2

х – 2
tg
х – 3 = 0.

Пусть tg
х =
t
,
тогда: t
2

– 2
t
– 3 = 0.

Так как а + с = в, то
t
1

= – 1,
t
2

= 3.

Если t
= – 1
, то tg
х = – 1,

х =
arctg
(– 1) + π
n
,
n
Î
Z
,

х
n

=

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
.

Если t
= 3
, то tg
х = 3,

xk
= arctg 3 +

π
k, k
Î
Z.

Ответ: х
n

= –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
n, n
Î
Z, xk
= arctg 3 +

π
k, k
Î
Z.

№171(а).

2
sin
2

х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2
x
.

Применим формулу sin
2
x
= 2
sin
x
cos
x
.

2sin2

х

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin x cos x = 0,

2sin x(sin x –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
cos x) = 0,

2sin x = 0
или
sin x –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
cos x = 0,

sin x = 0 tg
х
=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
,

х
n

= πn, n
Î
Z xk
= arctg

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z,

xk
=

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

Ответ: х
n

= πn, n
Î
Z, xk
=

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители

Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём.

Смысл этого метода таков: если уравнение f
(х) = 0
возможно преобразовать к виду f
1

(
x
)
-
f
2

(
x
) = 0,
то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений): f
1

(
x
) = 0;
f
2

(
x
) = 0.

Этим методом целесообразно решать уравнения из № 168(а, б), 170(б, в), 171(а), 172(г), 173(а, г), 174. Но хочется заметить, что решая №171(а) и №173(а), мы придём к решению однородных уравнений первой степени.

№168(в).

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
tg
2

x
– 3
tg
x
= 0,

tg
x
(«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
tg x – 3) = 0,

tg x = 0
или «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
tg x – 3 = 0,

х
= arctg 0 +
π
n, n
Î
Z
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
tg x = 3,

х
n

=
π
n, n
Î
Z tg x =
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
,

х
= arctg
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z,

х
k

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

Ответ: х
n

=
π
n, n
Î
Z,
х
k

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
k, k
Î
Z.

№170(в).

sin
2х – с
os
x
= 0,

2
sin
х
-
с
os
x
– с
os
x
= 0,

с
os
x
(2
sin
х – 1) = 0,

с
os
x
= 0
или 2
sin
х – 1 = 0,

х
n

= 2π
n
,
n
Î
Z
2
sin
х = 1,

sin
х =
,

х
k

= (– 1)
k

-
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
k
,
k
Î
Z
.

Ответ: х
n

= 2π
n
,
n
Î
Z
, х
k

= (– 1)
k

-
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
k
,
k
Î
Z
.

№174(г).

с
os
3
x
+ с
os
x
= 4с
os
2
x
,


os
-
с
os
= 4с
os
2
x
,

с
os
2
x
-
с
os
x
– 2с
os
2
x
= 0,

с
os
2
x

os
x
– 2) = 0,

с
os
2
x
= 0
или с
os
x
– 2 = 0,

2х = 2π
n
,
n
Î
Z
с
os
x
= 2,

х = π
n
,
n
Î
Z
корней нет, т.к. 2
Ï
[– 1; 1].

Ответ: х = π
n
,
n
Î
Z

Итак, я рассмотрела тригонометрические уравнения, предлагаемые в п.9 и п.11 учебника «Алгебра и начала анализа для10-11 классов» под редакцией А. Н. Колмогорова. Эти уравнения я решала в 10 классе.

Но глава V. «Задачи на повторение» содержит п.13 «Тригонометрические уравнения и неравенства». Проведу классификацию уравнений, предлагаемых здесь.

2.5 Задачи на повторение

Сведение к:

а) простейшим уравнениям: №153(б, в, г), 156(б), 157(а).

б) квадратным: №152(а, в), 154(а, б, г), 156(в), 157(в, г).

в) уравнениям, решаемым разложением на множители: №153(а), 154(б, в, г), 155, 156(а, г), 157(б, г).

г) однородным: №152(б, г), 153(а), 157(б).

Замечу, что к ряду уравнений применим не один метод, а несколько. Например, решая уравнение из №153(а), сначала идёт разложение на множители, а затем одно из полученных уравнений решается как однородное.

№154(б): на множители – как квадратное.

№154(г): на множители – как квадратное.

№157(б): на множители – как однородное.

№157(г): на множители – как квадратное.

№157(
б
).

tg
х
– sin x = 2sin2

,
ОДЗ: х

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
π
m, m
Î
Z.

– sin x = 1 – cos x,

sin x – sin x
-
cos x = cos x – cos2
x,

(sin x – cos x) – cos x
-
(sin x – cos x) = 0,

(sin x – cos x)
-
(1 – cos x) = 0,

sin x – cos x = 0
или
1 – cos x = 0,

tg
х – 1 = 0
cos
x
= 1,

tg
х = 1
xk

= 2
πk
,
k
Î
Z
.

х
n

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
πn
,
n
Î
Z
.

Ответ: х
n

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
πn
,
n
Î
Z
,
xk

= 2
πk
,
k
Î
Z
.

3. Тригонометрические уравнения на экзаменах

3.1 Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы

Письменный экзамен по алгебре и началам анализа является обязательным для всех выпускников. Он проходит в форме контрольной работы, содержащей 10 заданий. Экзаменационная работа по курсу «Алгебра и начала анализа» проводится по «Сборнику заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы» (Авторы: Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А.) и состоит из трёх частей.

Первая часть
экзамена (задания 1 – 5) включает пять заданий, которые помещены в разделе 1. Всего в сборнике 96 таких выборов. Уровень сложности этих заданий определяется «Требованиями к математической подготовке учащихся», предусмотренными программой.

Вторую часть
экзамена составляют задания, помещённые в разделах 4 (задания 6, 7) и 5 (задание 8) сборника. Это традиционные задания, предлагаемые на экзамене.

Третья часть
экзамена (задания 9, 10) состоит из заданий, подобных тем, которые используются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Они находятся в разделе 6 сборника. Решение этих задач не требует ни дополнительных навыков, ни дополнительных идей по сравнению с задачами, обычно предлагающимися в школьных учебниках.

3.2 Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене

3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения

Анализируя задания, предлагаемые на экзамене, я заметила, что тригонометрические уравнения предлагаются в 74 из 96 наборов первой части. Они указаны в №3.

По типу это уравнения различные: приводятся к простейшим, решаются разложением на множители, неполные квадратные тригонометрические уравнения. Много уравнений таких, где необходимо применить формулы приведения. Но и предлагаются такие уравнения, когда нужно не просто их решить, а изо всех корней отобрать те, которые принадлежат указанному промежутку. Кстати, таких уравнений в школьном курсе нет.

Приведу пример решения такого упражнения.

Вариант 7, №3.

Найдите все решения уравнения (

sin

x

+

cos

x

)2
= 1 +


sin

x

cos

x

, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Используем формулу сокращённого умножения.

sin2
x + 2sin x cos x + cos2
x = 1 + sin x cos x,

1 + 2sin x cos x – 1 – sin x cos x = 0,

sin x cos x = 0,

sin
x
= 0
или
cos
x
= 0,

х
n

=
πn
,
n
Î
Z
xk

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Теперь произведём отбор корней, принадлежащих указанному промежутку. существует несколько способов.

I
способ (непосредственная подстановка целых значений в общую формулу корней):

1)
х

n


=

πn

,

n

Î

Z

n
= 0, х = 0
Î
[0; 2π];

n
= 1, х =
π
Î
[0; 2π];

n
= 2, х = 2
π
Î
[0; 2π];

n
= 3, х = 3
π
Ï
[0; 2π];

n
= – 1, х = –
π
Ï
[0; 2π].

2)
xk


= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

k
= 0, х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
Î
[0; 2π];

k
= 1, х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
Î
[0; 2π];

k
= 2, х = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
Ï
[0; 2π];

k
= – 1, х = – «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
Ï
[0; 2π].

Ответ: 0; «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе;
π
; «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе; 2
π
.

II
способ (решение двойного неравенства для определения целых значений):

1) 0

f

π

n

f

2

π

,

0
f
n
f
2.

Значит, находим корни уравнения при n = 0; 1; 2. (Я их нашла в I способе).

2)
0

f

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

f

2

π

,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
f

πk
f

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе,


f

k
f

.

Итак, k
= 0; 1.
Корни, соответствующие этим значениям k, я нашла выше.

III
способ. Здесь используются графики тригонометрических функций или единичную окружность; для этого находить общую серию решений в данном случае совсем необязательно. Но необходимо помнить, что:
sin
α = у; с
os
α
= х.

1)
sin
x
= 0.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе2)
cos
x
= 0.

3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4

Раздел 4 сборника состоит из нескольких пунктов, одним из которых является «Тригонометрия». Этот пункт включает в себя как преобразование тригонометрических выражений, так и решение уравнений. Среди предложенных уравнений 12 номеров включают отбор корней в соответствии указанному промежутку.

1)
Уравнения, решаемые как квадратные относительно одной тригонометрической функции: №4.13; 4.14; 4.15; 4.16; 4.17; 4.18; 4.19; 4.20; 4.21; 4.22; 4.23; 4.24; 4.25; 4.26. Но не каждое из указанных уравнений сразу сводится к решению квадратных. Для решения некоторых из них нужно применить сначала формулы тригонометрии: основное тригонометрическое тождество, формулы понижения степени.

2)
Уравнения, решаемые разложением на множители: №4.27; 4.28; 4.29; 4.30; 4.31; 4.32; 4.33; 4.34.

3)
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним: №4.35; 4.36; 4.37; 4.38.

4)
Уравнения, решаемые с использованием основного свойства пропорции: №4.39; 4.40; 4.41; 4.42.

Хочется заметить, что решая эти уравнения, мы в итоге приходим к решению однородных уравнений первой степени. Приведу пример решения такого уравнения.

№4.41.

Найдите все решения уравнения

, принадлежащие отрезку [–

π

;

π

].

Применив основное свойство пропорции, получим:

3(2
sin
х – с
os
x
) = 1(5
sin
х – 4с
os
x
),

6
sin
х – 3с
os
x
– 5
sin
х + 4с
os
x
= 0,

sin
х + с
os
x
= 0.
Разделим это уравнение на с
os
x
.

tg
x
+ 1 = 0,

tg
x
= – 1,

х = –
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
+
πn
,
n
Î
Z
.

Решения этого уравнения, принадлежащие указанному промежутку, найду с помощью тригонометрического круга:

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Ответ: «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
;
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
.

3.2.3 Тригонометрические уравнения повышенной сложности

I
.
Раздел 5:

1) №5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.9; 5.11 – уравнения, решаемые как квадратные относительно одной из тригонометрических функций, с применение формул понижения степени.

2) №5.10; 5.12 – уравнения, решаемые разложением на множители с применением формул тригонометрии.

3) №5.13; 5.14 – однородные уравнения 2-ой степени.

4) №5.5; 5.6; 5.7; 5.8 – уравнения, решаемые с применением свойства ограниченности тригонометрических функций. Примечательно то, что таких уравнений в школьном курсе алгебры не предлагается вообще.

№5.6.

Решите уравнение с

os

x

= х2
+ 1.

с
os
x
f
1
при всех значениях х.

х2
+ 1 ≥ 1

при всех значениях х.

Тогда данное уравнение имеет решение только при выполнении двух условий:

с
os
x
= 1
и х2
+ 1 = 1,

т.е.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе х = 0.

Ответ: х = 0.

II
. Раздел 6:

Рассматривая тригонометрические уравнения из этого раздела, я заметила, что большая часть уравнений относится к тем, которые решаются а)
разложением на множители:
№6.23; 6.25; 6.26; 6.27; 6.28; 6.31; 6.32; 6.33; 6.34; 6.35; 6.36; 6.37; 6.38; 6.40; 6.43; 6.44; 6.45; 6.46; 6.47; 6.48; 6.51; 6.52; 6.54; 6.60; 6.61; 6.62; 6.63; 6.65; 6.67; 6.68; 6.74; 6.75; 6.81; 6.82.

Далее по количеству следуют б) уравнения, сводящиеся к квадратным:
№6.24; 6.39; 6.41; 6.43; 6.44; 6.53; 6.55; 6.56; 6.57; 6.58; 6.59; 6.64; 6.69; 6.70; 6.71; 6.72; 6.77; 6.78; 6.79; 6.80.

Кроме этого есть уравнения, которые после преобразований с применением соответствующих формул тригонометрии сводятся к в) простейшим:
№6.29; 6.48; 6.50; 6.66; 6.76.

В этом разделе всего лишь три уравнения, которые решаются как г) однородные:
№6.42; 6.46; 6.65.

С решением таких уравнений мы сталкиваемся и на уроках алгебры, поэтому я не привожу решение таких уравнений, о них говорилось выше.

Здесь же есть ещё и уравнения, которые решаются совершенно незнакомым мне методом – д) методом вспомогательного угла:
№6.46; 6.65; 6.73; 6.74; 6.75.

В чём суть этого метода?

Рассмотрим уравнение вида А
sin
х + Вс
os
x
= С,
где А, В, С
– некоторые числа и А
-
В ≠ 0.
Так как А2
+ В2
> 0,

то разделив обе части данного уравнения на число «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе, перепишем уравнение в виде а
sin
х + вс
os
x
= с
, где «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе, «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Так как а2
+ в2
= 1,

то можно подобрать такой угол α, что а =
sin
α
и в = с
os
α.
Тогда уравнение а
sin
х + вс
os
x
= с
можно записать в виде с
os
x
с
os
α +
sin
х
sin
α = с,
или в виде с
os
(
x
– α) = с.

Если подобрать такой угол β,
что а = с
os
β
и в =
sin
β,
то уравнение а
sin
х + вс
os
x
= с
можно записать в виде sin
(х + β) = с.

Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Решу этим методом №6.74.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х + 2
sin
2

х – 1 = 2с
os
x
,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х + 2
-
– 1 = 2с
os
x
,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х + 1 – с
os
2
x
– 1 = 2с
os
x
,

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х – с
os
2
x
= 2с
os
x
.

Разделим все члены уравнения на число «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе. Получим:

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х –
с
os
2
x
= с
os
x
,

– (
с
os
2
x
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin
2х) = с
os
x
,

– (
с
os
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсес
os 2x – sin
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
sin 2
х
) =
с
os x,


с
os (2x +
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) =
с
os x,

с
os (2x +
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) +
с
os x = 0,

2
с
os (
+
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
)
с
os (
+
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) = 0,

с
os (
+
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) = 0
или
с
os (
+
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
) = 0,

+ «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
+ «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе = «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
k
,
k
Î
Z
,

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
n
,
n
Î
Z
= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + π
k
,
k
Î
Z
,

xn

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе
xk

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Ответ: xn

= «средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе,
xk

=
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Хочется ещё раз отметить, что при решении этого уравнения использовался не только метод вспомогательного угла, но и метод разложения на множители.

В этом разделе предлагаются также е) уравнения, решаемые методом оценки
обеих частей: №6.83; 6.84; 6.85; 6.86; 6.87; 6.88 и два ж) иррациональных тригонометрических уравнения:
№6.77; 6.78.

№6.83.

sin
х = х2
+ 2х + 2.

В правой части данного уравнения выделим квадрат суммы, получим:

sin
х = (х + 1)2
+ 1.

Оценим обе части этого уравнения:

sin
х
f
1
и (х + 1)2
+ 1 ≥ 1.

Чтобы данное уравнение имело решение необходимо выполнение двух условий:

sin
х = 1
и (х + 1)2
+ 1 = 1.

Решаем второе уравнение: х + 1 = 0,

х = – 1.

Это значение х не является решением первого уравнения sin
х = 1
. Значит, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

№6.77.

«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе

Так как правая часть уравнения неотрицательная, то и левая часть должна быть неотрицательной, т.е. с
os
x
≥ 0.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

10с
os
2

x
= 4с
os
x
– с
os
2
x
,

10 с
os
2

x
= 4с
os
x
– (2с
os
2

x
– 1),

12с
os
2

x
– 4с
os
x
– 1 = 0.

Пусть
с
os x = t,
тогда
12t2
– 4t – 1 = 0,

t1
=

, t2
= –

.

Если t =
, то с
os x =
,

х
=
±
arccos
+ 2
π
n, n
Î
Z,

х =
±
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + 2π
n
,
n
Î
Z
.

Если t
= –
, то с
os
x
= –
,

корней нет, т. к. с
os
x
≥ 0.

Ответ: х =
±
«средняя общеобразовательная школа №20»  по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе + 2π
n
,
n
Î
Z
.

Заключение

Изучив литературу по выбранной теме, я узнала очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, узнала очень много до сих пор не известных мне имён математиков прошлого.

Я повторила решение тригонометрических уравнений школьного курса алгебры и научилась решать уравнения методом введения вспомогательного угла – такие уравнения встречаются в сборнике для проведения итоговой аттестации выпускников.

Кроме этого мне показался интересным ещё один способ решения уравнений: метод оценки.

Кроме этого я сделала классификацию уравнений по способу их решения, что, я надеюсь, поможет моему преподавателю в дальнейшей работе при изучении данной темы.

Я планирую продолжить эту работу и рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на ЕГЭ.

Используемая литература

1. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2003.

2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

3. Королёв С. В. Тригонометрия на экзамене по математике: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.

4. Решетников Н. Н. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекции 1 – 8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.