Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1.
Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ
: вероятность 3/8.

Задача 1.2.
Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ.
Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ:
Р(А) = 1/5040.

Задача 1.3.
Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n= 11!; M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ:
Р(А) =1/9979200.

Задача 1.4.
В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

Задачи по теории вероятности 2

а) А1
- среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

Задачи по теории вероятности 2 Р(А1
) = 560/2002 = 280/1001.

б) А2
- среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В1
- среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В2
- среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В3
- среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А2
= В1
Задачи по теории вероятности 2 В2
Задачи по теории вероятности 2 В3.

Так как события В1
, В2
и В3
несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А2
) = Р(В1
) + Р(В2
) + Р(В3
);

Задачи по теории вероятности 2

Р(А2
) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) Задачи по теории вероятности 2 - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Задачи по теории вероятности 2

Р(А3
) = 1 - Р(Задачи по теории вероятности 2) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ:
Р(А1
) = 280/1001, Р(А2
) = 483/1001, Р(А3
) = 973/1001.

Задача 1.6.
В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А1
- все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

В1
- из первой урны вынуты 2 белых шара;

В2
- из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В3
- из первой урны вынуты 2 черных шара;

С1
- из второй урны вынуты 2 белых шара;

С2
- из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С3
- из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А1
= Задачи по теории вероятности 2, откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А1
) = Р(В1
) * Р(С1
) + Р(В3
) * Р(С3
).

Найдем количество элементарных событий n1
и n2
для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Задачи по теории вероятности 2

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В1
: m11
= Задачи по теории вероятности 2C1
: m21
= Задачи по теории вероятности 2

B2
: m12
=Задачи по теории вероятности 2C2
: m22
= Задачи по теории вероятности 2

B3
: m13
=Задачи по теории вероятности 2C3
: m23
= Задачи по теории вероятности 2

Следовательно,

Р(А1
) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А2
- среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А2
= (В1
Задачи по теории вероятности 2 С2
Задачи по теории вероятности 22
Задачи по теории вероятности 2 С1
);

Р(А2
) = Р(В1
) * Р(С1
) + Р(В2
) * Р(С2
)

Р(А2
) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А3
- среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

Задачи по теории вероятности 2 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

Задачи по теории вероятности 2

Р(Задачи по теории вероятности 2) = Р(В3
) * Р(С3
) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А3
) = 1 - Р(Задачи по теории вероятности 2) = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ:
Р(А1
) = 46/495, Р(А2
) = 1/3, Р(А3
) = 158/165.

Задача 1.7.
В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В1
- в урне было 5 белых шара;

В2
- в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В3
- в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В4
- в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В5
- в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В6
- в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов

Задачи по теории вероятности 2

Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В1
) = 1.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В2
) = 56/84 = 2/3.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В3
) = 35/84 = 5/12.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В4
) = 5/21.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В5
) = 5/42.

Задачи по теории вероятности 2 Р(А/В6
) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ:
Р(А) = 209/504.

Задача 1.9.
В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем Задачи по теории вероятности 2и соответственно Задачи по теории вероятности 2 (для В1
) и Задачи по теории вероятности 2 (для В2
); таким образом Р(В1
) = 3/ 11, Р(В2
) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В1
) = 0,87 и Р(А.В2
) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ:
Р(А) =0,615.

Задача 1.10.
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1
=13, М2
=12, и М3
=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.

Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В1
) = 0,91, Р(А/В2
) = 0,82, Р(А/В3
) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В1
) = 13/42 = 0,3095; Р(В2
) = 12/42 = 0,2857; Р(В3
) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В1
:

Р(В1
/А) = Задачи по теории вероятности 2

Р(В2
/А) = Задачи по теории вероятности 2

Р(В3
/А) = Задачи по теории вероятности 2

Ответ:
Р(В1
/А) = 0,3403, Р(В2
/А) = 0,2831, Р(В3
/А) = 0,3766

Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.

Задача 2.1.
В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности рk
, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей рk
.
Найти наивероятнейшую частоту.

Задано:
n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти:
р0
, р1
, р2
, ..., р11
и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р0
вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности рk
- по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р0
= Задачи по теории вероятности 2*0,360
* 0,6411
= 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство Задачи по теории вероятности 2

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q Задачи по теории вероятности 2kЗадачи по теории вероятности 2np + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р3
является максимальным.

Таблица 1

k (n-k-1)/ k рk k (n-k-1)/ k pk

0

1

2

3

4

5

-

11/ 1

10/ 2

9/ 3

8/ 4

7/ 5

0,0073787

0,0456556

0,1284066

0,2166861

0,2437719

0,1919704

6

7

8

9

10

11

6/ 6

5/ 7

4/ 8

3/ 9

2/ 10

1/ 11

0,1079833

0,0433861

0,0122023

0,0022879

0,0002573

0,0000131

Задачи по теории вероятности 2 - 0,9926213

Задачи по теории вероятности 2

Рисунок 1 График вероятностей рk

Задача 2.2.
В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.

а) Задано:
п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти:
Р760
(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

Значение функции j(x) найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562, P760
(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.

б) Найти:
Р760
(284

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим: Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р760
(284

в) Найти:
Р760
(330

Имеем: Задачи по теории вероятности 2 х1
= -1,98, Задачи по теории вероятности 2

Р760
(330760
(330

Задача 2.4.
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано:
n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти:
Р800
(2).

Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

Р800
(2) = Задачи по теории вероятности 2.

б) Задано
k<3.

Найти:
Р200
(k<3).

Имеем:

l= 7.

Р800
(k<3) = Р800
(0) + Р800
(1) + Р800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Задано
k > 8.

Найти:
Р800
(k > 8).

Находим

l= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р800
(k>8) = 1 – Р800
(kЗадачи по теории вероятности 28) = 1 - Р800
(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6.
Случайная величина Х задана рядом распределения.

Х 8 12 16 24
Р 0,11 0,14 0,50 0,25

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DXи моду Мо.

R = 4

Задачи по теории вероятности 2

Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х2
) = 82
*0,11 + 122
*0,14 + 162
*0,5 + 242
*0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,522
= 26,2896.

Задачи по теории вероятности 2

График функции распределения

Задача 2.7.
Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) = Задачи по теории вероятности 2

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

Задачи по теории вероятности 2

Поэтому

Задачи по теории вероятности 2

Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ = Задачи по теории вероятности 2

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х2
) = Задачи по теории вероятности 2

DX = 40,5 – (4,5)2
.

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х2
/ 256 = 1/2, или х2
= 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31.

Задачи по теории вероятности 2
Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

6

3

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2Задачи по теории вероятности 2

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2 6

Задачи по теории вероятности 2

Задачи по теории вероятности 2

3

Задачи по теории вероятности 2

6 12 х

График функции распределения F(х).

Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

- составить вариационный ряд;

- вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

- построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

- составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое Задачи по теории вероятности 2,

дисперсию Задачи по теории вероятности 2,

стандартное отклонение Задачи по теории вероятности 2,

моду Мо,

медиану Ме.

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности Задачи по теории вероятности 2,S2
, Sпо

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.

Выборка А6

4 10 7 6 3 7 8 7 4 7 10 7 3 9 3
1 5 8 10 11 6 5 7 6 3 8 4 3 8 4
10 6 8 7 8 7 7 7 4 6 7 10 4 4 0
5 4 4 8 5 5 10 7 3 8 5 6 6 6 3
5 7 8 5 7 10 9 10 8 2 3 6 9

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1

Выборка В6

324 296 313 323 312 321 322 301 337 322 329 307
301 328 312 318 327 315 319 317 309 334 323 340
326 322 314 335 313 322 319 325 312 300 323 335
339 326 298 298 337 322 303 314 315 310 316 321
312 315 331 322 321 336 328 315 338 318 327 323
325 314 297 303 322 314 317 330 318 320 312 333
332 319 325 319 307 305 316 330 318 335 327 321
332 288 322 334 295 318 329 305 310 304 326 319
317 316 316 307 309 309 328 317 317 322 316 304
303 350 309 327 345 329 338 311 316 324 310 306
308 302 315 314 343 320 304 310 345 312 330 324
308 326 313 320 328 309 306 306 308 324 312 309
324 321 313 330 330 315 320 313 302 295 337 346
327 320 307 305 323 331 345 315 318 331 322 315
304 324 317 322 312 314 308 303 333 321 312 323
317 288 317 327 292 316 322 319 313 328 313 309
329 313 334 314 320 301 329 319 332 316 300 300
304 306 314 323 318 337 325 321 322 288 313 314
307 329 302 300 316 321 315 323 331 318 334 316
328 294 288 312 312 315 321 332 319

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: хmin
= 0 и хmax
= 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).

Таблица 1

xi ni ni
/n
Накопленные частости

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1

1

8

9

8

9

14

10

3

8

1

0,0137

0,0137

0,0137

0,1096

0,1233

0,1096

0,1233

0,1918

0,1370

0,0411

0,1096

0,0137

0,0137

0,0274

0,0411

0,1507

0,274

0,3836

0,5069

0,6987

0,8357

0,8768

0,9864

1,0001

å 73 1,0001 -

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси ni
/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Задачи по теории вероятности 2

Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А

Задачи по теории вероятности 2

Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F*
(x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

Задачи по теории вероятности 2

При построении графика F*
(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Задачи по теории вероятности 2

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое Задачи по теории вероятности 2и дисперсию Задачи по теории вероятности 2

Таблица 2

xi ni Задачи по теории вероятности 2 Задачи по теории вероятности 2 Задачи по теории вероятности 2 Задачи по теории вероятности 2
0 1 -7 -7 49 49
1 1 -6 -6 36 36
2 1 -5 -5 25 25
3 8 -4 -32 16 128
4 9 -3 -27 9 81
5 8 -2 -16 4 32
6 9 -1 -9 1 9
7 14 0 0 0 0
8 10 1 10 1 10
9 3 2 6 4 12
10 8 3 24 9 72
11 1 4 4 16 16
73 -58 470

Стандартное отклонение Задачи по теории вероятности 2Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем хmin
= 288 и хmax
= 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).

Таблица 3

Интервалы ni ni
/n
Накопленные частости

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

4

8

22

36

62

50

33

16

5

1

0,017

0,034

0,093

0,153

0,262

0,211

0,140

0,068

0,022

0,004

0,017

0,051

0,144

0,295

0,557

0,768

0,907

0,975

0,996

1,000

å 237 1,000 -

Задачи по теории вероятности 2

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Задачи по теории вероятности 2

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.

При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси ni
/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Задачи по теории вероятности 2

Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.

Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим с помощью табл. 4 (табл. 4).

По формулам вычисляем среднее арифметическое Задачи по теории вероятности 2 и дисперсию Задачи по теории вероятности 2

Стандартное отклонение Задачи по теории вероятности 2 Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7-Задачи по теории вероятности 2= 317,8.

Таблица 4

Интервал Середина интервала ni Задачи по теории вероятности 2 Задачи по теории вероятности 2ni (Задачи по теории вероятности 2)2 (Задачи по теории вероятности 2)2
ni

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

289

296

303

310

317

324

331

338

345

352

4

8

22

36

62

50

33

16

5

1

-3,8

-2,8

-1,8

-0,8

0,1

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

-1114,7

-845,7

-562,7

-265,7

45,3

370,3

709,3

1062,3

1429,3

1810,3

14,9

8,2

3,4

0,7

0,02

1,3

4,6

9,9

17,2

26,4

4299,6

2416,3

1045

227,8

6,5

423,2

1519,9

3338,6

5921,3

9310

å - 237 2637,9 - 28508,3

Медиану находим по формуле: Ме =.

Задача 3.2.

По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73, S-2
= 5,8143,S2
= 73/72-5,8143 = 5,8951, S = Задачи по теории вероятности 2 = 2,43.

Для выборки В имеем

Задачи по теории вероятности 2 = 393,92, Задачи по теории вероятности 2 = 177,47, n = 237, S2
= 237/236-177,47 = 178,222, S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).